H. Geiges
Wintersemester 2005/06
Vorlesung: Mi, Do 8-10 im Hörsaal des Mathematischen Instituts
Sprechstunde: Mi, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)
Die Differentialtopologie studiert Mannigfaltigkeiten, d.h. lokal
euklidische Räume (mit gewissen weiteren Eigenschaften), und
Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind in vielen
verschiedenen Gebieten von Bedeutung: als Lie-Gruppen in der
Algebra und Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie,
als Phasenräume und Energieflächen in der Mechanik etc.
In diesen Anwendungen treten Mannigfaltigkeiten mit einer
zusätzlichen Struktur auf, wie etwa einer Riemannschen Metrik,
einem dynamischen System, oder einer symplektischen Struktur. Die
Differentialtopologie dagegen studiert Mannigfaltigkeiten an sich und
verwendet zusätzliche Strukturen allenfalls als Hilfsmittel.
Insbesondere sind die Fragen der Differentialtopologie
typischerweise globaler Natur.
In diesem ersten Teil einer auf zwei Semester angelegten
Einführung in die Differentialtopologie soll
gezeigt werden, wie man schon mit einem relativ geringen technischen Aufwand
einige fundamentale Sätze der Topologie beweisen kann.
Insbesondere sollen der Fixpunktsatz von Brouwer und
der Indexsatz für Vektorfelder von Poincaré-Hopf
bewiesen werden.
Erforderliche Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Analysis III, mengentheoretische
Topologie im Umfang von Kapitel 1 im unten angegebenen Buch von Jänich
(üblicherweise in Analysis II behandelt).
Literatur:
D. Barden, C. Thomas:
An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press.
Th. Bröcker, K. Jänich:
Einführung in die Differentialtopologie, Springer.
V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology, Prentice-Hall.
M.W. Hirsch: Differential Topology, Springer.
J.W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, University
Press of Virginia.
Für die Grundlagen der mengentheoretischen Topologie:
K. Jänich: Topologie, Springer.
Für Bezüge zur theoretischen Physik:
M. Göckeler, T. Schücker: Differential Geometry,
Gauge Theories, and Gravity
Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet.
Übungen: Mi, Do 16-18 Uhr, Philosophikum S 54
Zuständiger Assistent: Bijan Sahamie (Raum 223);
Übungsleiter: Christian Stromenger
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (ps)
Übungsblatt 2 (ps)
Übungsblatt 3 (ps)
Übungsblatt 4 (ps)
Übungsblatt 5 (ps)
Übungsblatt 6 (ps)
Übungsblatt 7 (ps)
Übungsblatt 8 (ps)
Übungsblatt 9 (ps)
Übungsblatt 10 (ps)
Übungsblatt 11 (ps)
Übungsblatt 12 (ps)
Übungsblatt 13 (ps)
Übungsblatt 14 (ps)
Inhaltsverzeichnis:
0. Untermannigfaltigkeiten des Rn
1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
1.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definitionen & Beispiele
1.2. Differenzierbare Abbildungen: Definitionen & Beispiele
1.3. Untermannigfaltigkeiten
-- Die orthogonale Gruppe
-- Der Fundamentalsatz der Algebra
1.4. Der Whitneysche Einbettungssatz
2. Der Tangentialraum und die Ableitung differenzierbarer
Abbildungen
2.1. Definition des Tangentialraumes
2.2. Das Differential einer differenzierbaren Abbildung
2.3. Vergleich der Definitionen des Algebraikers und des Geometers
2.4. Das Tangentialbündel
-- Der Satz von Sard
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum zweiten
2.5. Vektorfelder und 1-Formen
3. Partition der Eins
3.1. Parakompaktheit und gute Atlanten
3.2. Riemannsche Metriken
3.3. Konstruktion glatter Abbildungen und Approximationssätze
3.4. Anwendungen
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum dritten
4. Der Abbildungsgrad
4.1. Mannigfaltigkeiten mit Rand
4.2. Der Abbildungsgrad mod 2
4.3. Orientierung von Mannigfaltigkeiten
4.4. Der ganzzahlige Abbildungsgrad
4.5. Vektorfelder und die Euler-Charakteristik
4.6. Die Windungszahl und der Satz von Borsuk-Ulam
5. Vektorbündel und allgemeinere Faserbündel
5.1. Vektorbündel: Definitionen & Beispiele
5.2. Lineare Algebra für Vektorbündel
5.3. Reduktion der Strukturgruppe
-- Orientierung von Vektorbündeln
-- Riemannsche Metriken auf Vektorbündeln
5.4. Faserbündel
6. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
6.1. Dynamische Systeme
6.2. Kragen berandeter Mannigfaltigkeiten
6.3. Geodätische
6.4. Tubenumgebungen
7. Beweis des Satzes von Sard
H. Geiges, 23.1.06