Seminar ELLIPTISCHE OPERATOREN AUF KOMPAKTEN MANNIGFALTIGKEITEN
(C) (mit I. Kausz)
2 St. Fr. 14-16 im Seminarraum 1
des Mathematischen Institutes
Oberseminar über ARITHMETISCHE GEOMETRIE (B und C)
(mit M. Rapoport und K. Künnemann)
2 St. Mi. 16-18 im Seminarraum 1
des Mathematischen Instituts
Arbeitsgemeinschaft über ALGEBRAISCHE GEOMETRIE
(mit M. Rapoport und K. Künnemann)
2 St. Fr. 12-14 im Seminarraum 1 des Mathematischen Institutes
Die perversen Garben wurden zuerst in der Topologie entwickelt, im Zusammenhang
mit der Schnitt-Kohomologie, die unter anderem ein Maß für die
"Ausgeartetheit" einer Singularität darstellt (daher der Name ...). Sie
tauchen auch bei der Riemann-Hilbert-Korrespondenz auf, die eine
Kategorienäquivalenz zwischen perversen Garben und regulären
holonomen D-Moduln betrifft. In der Vorlesung sollen die
l-adischen perversen Garben behandelt werden, mit deren Hilfe man einen neuen
Beweis der Weil-Vermutungen geben kann. Die Behandlung l-adischer Garben baut
auf meiner Vorlesung vom letzten Semester auf, aber die anfangs gegebene
Einführung in triangulierte und derivierte Kategorien und t-Strukturen,
und die aus gewissen formalen Axiomen gewonnene Konstruktion einer abelschen
Unterkategorie der perversen Garben ist davon unabhängig und mit
Grundkenntnissen der homologischen Algebra verständlich. Literatur: A.
Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne: Faisceaux pervers, Astérisque 100;
G. Laumon: Transformation de Fourier, constantes d'equations fonctionelles et
conjecture de Weil.
Nach einer kurzen Einführung in die Theorie der Sobolev-Räume und der
Pseudo-Differential-Operatoren auf RN wollen wir im
Seminar elliptische Operatoren auf kompakten Riemannschen
Mannigfaltigkeiten studieren. Unter anderem soll die Hodge-Zerlegung für
Differentialformen, die Poincaré-Dualität auf Mannigfaltigkeiten,
der Index-Satz für den De-Rham Komplex und die Riemann-Roch-Hirzebruch
Formel für das arithmetische Geschlecht einer Kähler-Mannigfaltigkeit
beweisen werden. Grundkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten
(etwa im Umfang meiner Analysis III-Vorlesung 94/95) sind
wünschenswert.
Literatur: P. B. Gilkey: the Index Theorem and the Heat Equation. Mathematics
Lecture Series 4, Publish of Perish, Inc. Boston 1974.
Vorbesprechung: Mo. 09.02.98, 13:00, Seminarraum 2.
Thema des Oberseminars sind die Motive. Nach Vorstellung der
verschiedenen Definitionen (Grothendieck-, Chow- und absolut Hodge-Motive) soll
in möglichst konkreter Weise und an Beispielen herausgearbeitet werden,
was die jeweiligen Theorien bezwecken und leisten. Als Anwendung soll mit den
Motiven zu Modulformen gezeigt werden, daß die Ramanujan-Vermutung aus
der (von Deligne bewiesenen) Weil-Vermutung folgt.
In der Arbeitsgemeinschaft werden eigene Ergebnisse vorgetragen.