Prof. Dr. Uwe Jannsen WS 96/97

Vorlesung AUSGEWÄHLTE KAPITEL AUS DER ALGEBRAISCHEN GEOMETRIE (B undC)

4 St. Mo., Do., 10-12 im Hörsaal

des Mathematischen Instituts

Übungen Übungen zu AUSGEWÄHLTE KAPITEL AUS DER ALGEBRAISCHEN GEOMETRIE

(mit T. Fimmel)

2 St. nach Vereinbarung

Seminar über ALGEBRAISCHE ZAHLENTHEORIE (privatissime) (B)

(mit S. Wortmann und I. Kausz)

2 St. Fr. 14-16 im Seminarraum 1

des Mathematischen Instituts

Oberseminar über ARITHMETISCHE GEOMETRIE (B und C)

(mit B. Köck und C. Scheiderer)

2 St. Mi. 10-12 im Seminarraum 2

des Mathematischen Instituts

Workshop Bielefeld - Köln - Münster - Wuppertal

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Kohomologie von algebraischen Varietäten und Schemata, und zwar wird parallel die klassische Zariski-Kohomologie und die jüngere étale Kohomologie behandelt. Ausgangspunkt der ersteren ist das Riemann-Roch-Problem: wieviele meromorphe Funktionen mit vorgeschriebenem Null- und Polstellenverhaltengibt es auf einer algebraischen Varietät X? Dies führt auf die Berechnung der Dimension dim H0 (X, L) des Raumes der globalen Schnitte eines Geradenbündels L , und für Kurven X gibt der Satz von Riemann-Roch eine Beschreibung in Invarianten wie dem Geschlecht der Kurve und dem Grad von L . Eine befriedigende Behandlung erhält man nur durch die Betrachtung höherer Kohomologiegruppen Hi (X, L ), i 0 , und, insbesondere für höherdimensionales X , durch den Serre'schen Dualitätssatz.

Wie viele andere Kohomologietheorien basiert die Definition der Zariski-Kohomologie auf der Methode der derivierten Funktoren, und diese Technik erlaubt auch die Definition der von Grothendieck und Artin entwickelten étalen Kohomologie. Diese ist "topologischer" als die Zariski-Kohomologie (sie hat z.B. eine entsprechende "Poincaré-Dualität") und spielt eine zentrale Rolle in der Arithmetischen Geometrie.

Vorkenntnisse für die Vorlesung: Algebraische Geometrie im Umfang meiner beiden Vorlesungen bzw. von Kapitel II in [H]. Die Vorlesung wird insbesondere all denen Studenten empfohlen, die bei mir die Diplomarbeit schreiben wollen.

Literatur: [H] R. Hartshorne, 'Algebraic Geometry', Springer 1977. [M] J. Milne, 'Étale Cohomology', Princeton Univ. Press 1980.

Die Übungen dienen der - immer wieder notwendigen - Behandlung von konkreten Beispielen, aber auch der Diskussion von Verständnis- und weiterführenden Fragen.

Im Seminar geht es um Algebraische Zykel und Schnitt-Theorie. Auf eine glatten projektiven Varietät X der Dimension d kann man zwei Untervarietäten Y, Z der Dimensionen i bzw. d-i eine Schnittzahl < Y.Z> Z zuordnen. Schneiden sich Y und Z "richtig", so ist <Y.Z> einfach die Anzahl der Schnittpunkte, richtig gezählt. Dies läßt sich auf formale ganzzahlige Linearkombinationen, also algebraische Zykel fortsetzen, und allgemeiner erhält man eine Ringstruktur auf der Chowgruppe CHj (X) der Zykel modulo rationaler Äquivalenz. Dieser Chow-Ring liefert sehr feine Invarianten der Varietät X, über die es viele interessante Resultate aber auch Vermutungen gibt. Als motivierendes konkretes Beispiel dient der Fall der Flächen ([H] Kap. V). Vorkenntnisse: wie zur Vorlesung. Literatur: [Fu]W. Fulton "Intersection Theory, Springer 1984 und und [H]. Eine erste Vorbesprechung findet am Mittwoch, d. 10. Juli 1996 um 16.00 in meinem Zimmer 113 statt.

Im Oberseminar werden aktuelle Fragen der Arithmetischen Geometrie besprochen. Thema des diesjährigen Workshops , der jeweils an einem Samstag pro Monat stattfindet, ist p-adische Kohomologie nach Fontaine, Faltings, Kato et al.