Universität zu Köln > Mathematisches Institut > Arbeitsgruppe Algebra > Lehre WS 10/11 > Seminar - Algebraische Geometrie und Darstellungstheorie


Universität zu Köln
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Peter Littelmann
Dipl.-Math. Stavros Kousidis

Seminar im Wintersemester 2010/11:

Algebraische Geometrie und Darstellungstheorie

Zeit/Ort: Dienstag, 12.00-13.30, Seminarraum 3, Gyrhofstrasse
Vorkenntnisse: Lineare Algebra, Algebra
Grundlagen: James Humphreys - Linear Algebraic Groups.
Hanspeter Kraft - Basic Algebraic Geometry.
Grundlagen: Claudio Procesi - Lie groups.
Zum Nachschlagen und Querlesen: Miles Reid - Undergraduate Algebraic Geometry.
George Kempf - Algebraic Varieties.
David Cox, John Little, Donal O'Shea - Ideals, Varieties, and Algorithms.
William Fulton, Joe Harris - Representation Theory - A First Course.
David Eisenbud - Commutative Algebra - with a View Toward Algebraic Geometry.
Michael Atiyah, Ian MacDonald - Introduction to Commutative Algebra.
Phillip Griffiths, Joseph Harris - Principles of Algebraic Geometry.
Springer Encyclopedia of Mathematics - http://eom.springer.de/.
Vorbesprechung: Interessierte melden sich bitte bei Stavros Kousidis.

Zuerst wollen wir uns algebraisch geometrische Grundlagen erarbeiten. Was sind affine, projektive, vollständige Varietäten? Anschliessend wollen wir algebraisch geometrische Objekte, die in der Darstellungstheorie relevant sind, verstehen, z.B. Lineare Algebraische Gruppen, Fahnenvarietäten. Anwenden wollen wir geometrisches Wissen auf darstellungstheoretische Objekte, indem wir Borel's Fixpunktsatz beweisen: Eine vollständige Varietät, auf der eine zusammenhängende auflösbare Gruppe wirkt, hat einen Fixpunkt. Der Zusammenhang zu Lie Algebren soll über den Tangentialraum einer Varietät hergestellt werden. Am Ende wollen wir Aufblasungen verstehen - einerseits geometrisch und andererseits (kommutativ) algebraisch über die Rees Algebra. Abschliessend wollen wir SL(2) Darstellungen klassifizieren und über die Veronese Einbettung den Zusammenhang zu rationalen normalen Kurven verstehen.

Vorträge:

9.11. Nicole Matyschok Affine Varietäten, Nullstellensatz, Koordinatenringe, Spezielle offene Mengen, Morphismen Kraft: Reguläre Funktionen (Def. und Bsp. 1.1), Zariski Topologie (Def. 1.2, Lemma 1.1, Def. 1.3 (Was ist eine Topologie?), Def. 1.4), Hilberts Nullstellensatz (Def. 1.5, Theorem 1.1, Korollare 1.1, 1.2 und 1.4, Bsp. 1.7), Affine Varietäten und Koordinatenringe (Def. 1.6), Spezielle offene Mengen (Proposition 1.2, Bsp. 1.11), Morphismen (Def. 2.1, Bsp. 2.1, Lemma 2.1)
16.11. Michael Goetze Algebraische und Projektive Varietäten, homogener Nullstellensatz, Segre Einbettung Homogene Ideale und homogener/projektiver Nullstellensatz (Humphreys Kapitel 1.6, Miles Reid (5.1)-(5.3), George Kempf Kapitel 1.6), Standardüberdeckung durch affine offene Mengen inkl. Bsp. P1 und P2 (Humphreys Ende Kapitel 1.6, Reid (5.5), Kempf Kapitel 1.6), Segre Einbettung (Humphreys Kapitel 1.7, Reid (5.11), Kempf Kapitel 3.2), Algebraische (Prä)Varietäten (Humphreys Kapitel 2.1 und 2.2)
23.11. Carina Peter Vollständige Varietäten, Eigenschaften, projektive Varietäten sind vollständig, Chow's Lemma Definition und Nicht-Beispiel, Eigenschaften = Abschnitt 6.1 in Humphreys, Projektive Varietäten sind vollständig (liefert Beispiele) = Abschnitt 6.2 in Humphreys oder Theorem 3.7.4 in Kempf, Reguläre Funktionen auf vollständigen Varietäten sind konstant = Lemma 3.7.2 in Kempf, Chow's Lemma = Lemma 3.8.1 in Kempf (ohne Beweis aber schön wär zu klären, warum nur birational).
30.11. Mirko Hajek Grassmann- und Fahnenvarietät, Pluecker Einbettung Menge Gr(k,m) = k-dimensionale Untervektorräme im d-dimensionalen Vektorraum (Humphreys Kapitel 1.8, Griffiths/Harris Kapitel 5), Plückereinbettung erklären und damit zeigen, dass Gr(k,d) eine projektive Varietät ist inkl. Plückerrelationen (Humphreys Kapitel 1.8, Griffiths/Harris Kapitel 5), Fahnenvarietät als Untermenge eines Produkts von Grassmannvarietäten (Humphreys Kapitel 1.8), Bsp. Gr(2,d) mit Einbettung und konkreten Relationen = Pfaffsche Formen (als Einstiegspunkt: Concrete Nonsense), Vollständige Hyperebenenschnitte einfaches Bsp. und Nicht-Bsp. Gr(2,d) (Definition s. Hartshorne Aufgabe 2.17)
7.12. Aileen Wessely Lineare Algebraische Gruppen, Bsp. GL(n) und SL(n), Borel Untergruppen, G/B Linear Algebraische Gruppen (Procesi 7:1.2), Rationale Morphismen (Procesi 7:1.3), Linear reduktive Gruppen (Procesi 7:3.1), Tori (Procesi 7:3.3), Borel Untergruppen und der Borel Fixpunktsatz (Procesi 4:4.1)

Stavros Kousidis, 20. Oktober 2010.