Analysis I

Wintersemester 2005/06

Prof. Dr. S. König
Dr. R. Hartmann
Mathematisches Institut der Universität Köln

Die Vorlesung Analysis I ist nun beendet. Die Webseite zur Vorlesung Analysis II ist jetzt verfügbar, Anmeldung zu den Übungen ist schon möglich.

Vorlesung

Montags und Donnerstags 8:15-9:45 in B

Gliederung: Teil I - Zahlen, Teil II - Folgen und Reihen, Teil III - Funktionen einer reellen Veränderlichen.

Inhalt:
Erste Woche: Natürliche Zahlen, vollständige Induktion, rekursive Definitionen.
Zweite Woche: Anordnen und Auswählen bei endlichen Mengen. Rationale Zahlen, Abzählbarkeit. Potenzmengen. Rationale und reelle Zahlen.
Dritte Woche: Reelle Zahlen. Folgen, Konvergenz, Cauchyfolgen, Definition der reellen Zahlen. Vollständigkeit der reellen Zahlen, Schranken, Supremum und Infimum.
Vierte Woche: Überabzählbarkeit der rellen Zahlen. Komplexe Zahlen: Definition, Polarkoordinaten, Fundamentalsatz der Algebra, Dreiecksungleichung. Folgen: Konvergenzkriterien, Satz von Bolzano und Weierstrass.
Fünfte Woche: Die Zahl e. Reihen: Beispiele, Konvergenzkriterien.
Sechste Woche: Absolute und bedingte Konvergenz, Riemannscher Umordnungssatz. Potenzreihen.
Siebte Woche: Stetigkeit. Fixpunktsätze. Dehnungsbeschränktheit.
Achte Woche: Zwischenwertsatz. Maxima und Minima stetiger Funktionen. Grenzwerten von Funktionen, Sprungstellen.
Neunte Woche: Differenzierbarkeit, Ableitungsregeln. Mittelwertsatz.
Zehnte Woche: Anwendungen des Mittelwertsatzes, Regel von De l'Hopital. Taylorpolynome und Satz von Taylor.
Elfte Woche: Taylorreihen. Riemannsches Integral, Unter- und Obersummen.
Zwölfte Woche: Integrierbare Funktionen. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Integrationsregeln.
Dreizehnte Woche: Wiederholung.
Vierzehnte Woche: Funktionenfolgen. Punktweise und gleichmässige Konvergenz. Stetigkeit und Integrierbarkeit. Potenzreihen.
Fünfzehnte Woche: Abelscher Grenzwertsatz. Weierstrassscher Approximationssatz. Anwendungen.

NEU!

Glossar der wichtigsten Definitionen der Vorlesung in pdf-Format, oder als LaTeX-Datei.

Übungen

Montags und Dienstags in Kleingruppen
Die Zeiten und Räume der Gruppen finden Sie hier. Bitte notieren Sie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auch deutlich lesbar auf Ihren Übungsblättern. Die Einteilung der Übungsgruppen ist hier. Wir haben versucht alle Terminwünsche zu berücksichtigen, soweit dies möglich war. Falls Sie wegen Überschneidungen mit anderen Lehrveranstaltungen noch die Gruppe wechseln müssen, wenden Sie sich bitte an Herrn Hartmann (Zimmer 111b im Mathematischen Institut). Übungsbeginn ist dann am 7. bzw. 8.November.

Übungsaufgaben

Übungsblätter werden ab der zweiten Woche jeweils Montags in der Vorlesung verteilt. Es gibt zwei Arten von Aufgaben, mündliche und schriftliche. Lösungen zu den schriftlichen Aufgaben müssen dann in der darauffolgenden Woche in den Übungen abgegeben werden. Lösungen zu den mündlichen Aufgaben werden nur in den Übungen präsentiert.
Wie bearbeitet man sinnvoll ein Übungsblatt?
Hier sind die Übungsblätter in pdf Format:
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4 (In der verteilten Version werden in Aufgabe 5 zwei verschieden aussehende 'R' verwendet; beide sollen die reellen Zahlen bezeichnen.)
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8 (In der verteilten Version soll in Aufgabe 1 im vierten Teil, der (d) sein sollte, die Funktion den Index 4 haben, nicht einmal 4 und einmal 3.)
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Aktuelle Übungsblätter sind ab Montagmittag auch in einem Umschlag enthalten, der neben dem Büro 110 (MI, erster Stock) hängt.

NEU: Forum

Es gibt nun ein gemeinsames Forum für die Anfängervorlesungen "Lineare Algebra I" und "Analysis I". Zum Forum geht's hier.

Kontakt und Sprechzeiten

Prof. Dr. S. Koenig
Sprechzeiten Donnerstags 10.30-11.30 Uhr und nach Vereinbarung
Zimmer 110 im Mathematischen Institut
Telefon 0221-470-2661
email skoenig(at)math.uni-koeln.de

Dr. R. Hartmann
Sprechzeiten Montags und Mittwochs 14-15 Uhr und nach Vereinbarung
Zimmer 111b im Mathematischen Institut
Telefon 0221-470-3713
email rhartman(at)math.uni-koeln.de

Klausur, Zulassung und Scheine

Die erste Klausur fand statt. Hier findet sich eine Liste von Matrikelnummern, die bestanden haben (Matrikelnummern und Art des Scheins: 1=allgemeingültiger Schein, 2=Nebenfachschein). Achtung: die Nebenfachscheine sind am Ende aufgelistet. Hier ist die Klausur (version a), (version d), (version e), (version g), und hier sind die Lösungen (nur Version a)der Multiple Choice Aufgaben. Die schriftlichen Aufgaben konnten zum Beispiel so gelöst werden.

Etwas Statistik

Mitgeschrieben haben 398 Studentinnen und Studenten, davon haben 202 einen Übungsschein erworben (50,8%). Die beste Punktzahl in der Klausur war 72, die durchschnittliche Punktzahl 38,1. Bei den Multiple Choice Aufgaben lag der Durchschnitt bei 20 Punkten (von 40), bei den schriftlich zu bearbeitenden Aufgaben wurden durchschnittlich nur 18 (von 60) Punkten erreicht. Inklusive Bonus war das beste Gesamtergebnis 91%, das durchschnittliche Ergebnis war 45,2%. Nach Studienfächern aufgegliedert, war die beste Gruppe die der Schülerstudenten, sie erreichten insgesamt durchschnittlich 66,6%. Es folgen Diplom-Mathematik (53%), Wirtschaftsmathematik (50,3%) und Physik (48,4%), dann Lehramt (40%), Geophysik (34,8%) und Metereologie (31,2%).

Für diejenigen, die nicht bestanden oder nicht mitgeschrieben haben, fand die Nachklausur statt. Hier finden Sie die Aufgaben der Nachklausur, die Lösungen der Multiple Choice Aufgaben und schriftlichen Aufgaben . Und hier sind die 44 Matrikelnumern, die bestanden haben. Davon haben 10 nur den Nebenfachschein erreicht. Das beste Ergebnis in der Nachklausur lag bei 61,5 Punkten, der Durchschitt bei 30,25 Punkten. Klausureinsicht war am Donnerstag, den 23.3. von 9:30 bis 11:00 Uhr im Hörsaal des Mathematischen Instituts. Danach können keine Beschwerden zur Korrektur mehr eingereicht werden, die Klausuren und Scheine können jetzt noch bei Frau Georg, Raum 105, abgeholt werden. Nicht abgeholte Klausuren werden schliesslich in den Übungen zur Analysis 2 zurückgegeben.

Klausurzulassung:

Hier finden Sie eine Liste all derer, die zur Klausur zugelassen sind. Zur Erklärung: Hinter der Matrikelnummer befinden sich eine (oder mehrere) der Zahlen 1,2 und 3, die angeben für welchen Schein (siehe unten) Sie zugelassen sind. Dabei bedeutet 12 dass Sie sowohl den Nebenfachschein (2) als auch den für alle Studiengänge gültigen Schein (1) erwerben können. Falls uns keine Matrikelnummer von Ihnen vorliegt (insbesondere bei Schülerstudenten), dann ist stattdessen Ihr Nachname angegeben. Falls sich hinter Matrikelnummer bzw. Name ein Stern (*) befindet, dann fehlen uns noch wichtige Angaben von Ihnen. In diesem Fall schicken Sie bitte nochmal alle Angaben (Name, Studienrichtung, Semesterzahl und Matrikelnummer) per email an rhartman@math.uni-koeln.de, oder setzen sich mit Herrn Hartmann in Verbindung. Sollte Ihre Matrikelnummer nicht auf der Liste sein und glauben Sie die Klausurzulassung erlangt zu haben, dann vergewissern Sie sich erst nochmal, ob weder Ihre Matrikelnummer noch Ihr Name in der Liste stehen, und setzen sich dann mit Herrn Hartmann in Verbindung. Jetzt geht's zur Zulassungsliste hier.

Aufgrund einer von Geophysik und Meteorologie gewünschten Neuregelung gibt jetzt drei verschiedene Klassen von Scheinen:
(1) Wer Mathematik im Hauptfach studiert, wird zur Klausur zugelassen, wenn er/sie mindestens 50 Prozent der Übungspunkte erreicht hat, mindestens zweimal in den Übungen vorgerechnet hat, und regelmässig an den Übungen teilgenommen hat. Für die Übungspunkte gibt es ausserdem noch einen Klausurbonus. Dierser errechnet sich als Klausurbonus = min(100%,Übungspunkte)*0.3*Klausurpunkte/(100%).
Der Bonus wird zu den erreichten Klausurpunkten addiert. Zum Beispiel bedeutet das, dass wer 100% der Übungspunkte erreicht einen Bonus von 30% auf die tatsächlich erreichten Klausurpunkte erhält. Zum Bestehen der Klausur sind (nach Anrechnen der Bonuspunkte) dann 50% der Klausurpunkte ausreichend.
Wer die Klausur besteht, erhält den in allen Studiengängen gültigen Analysis-I-Schein.
(2) Wer Mathematik als Nebenfach studiert benötigt nur 40% der Übungs- und der Klausurpunkte (Achtung: dies gilt nicht für Lehramtsstudierende). Alle anderen unter (1) angegebenen Regeln gelten entsprechend. Wer die Klausur besteht, erhält den in allen Studiengängen mit Mathematik als Nebenfach gültigen Analysis-I-Schein.
(3) Wer im Hauptfach Geophysik oder Meteorologie studiert, wird automatisch zur Klausur zugelassen. Einen Schein gibt es dann für 40% der Klausurpunkte (Achtung: kein Bonus, da die Übungsaufgaben ja nicht zählen.). Dieser Schein ist nur in den Diplom-Studiengängen Meteorologie und Geophysik gütig.
Wer die Klausur nicht besteht oder nicht teilnehmen kann, hat in der Nachklausur am 20.3.2006 noch eine zweite Chance. Für die Nachklausur gelten natürlich dieselben Regeln.
Wichtig: Bei Studiengangwechsel unbedingt den Übungsleiter informieren. Ebenso muss den Übungsleiter informieren, wer die Klausurzulassung schon früher erworben hat.
Die Klausur (und ebenso die Nachklausur) dauert drei Stunden. Sie besteht aus vier Teilen, in denen insgesamt 100 Punkte erworben werden können. Die Gliederung ist wie folgt:
Teil 1: Definition wiedergeben, etwa 10 Punkte.
Teil 2: Beispiele berechnen, Eigenschaften nachweisen, etwa 25 Punkte.
Teil 3: Aussagen beweisen, etwa 25 Punkte.
Teil 4: Multiple choice - Verständnistest, etwa 40 Punkte.
Klausurrelevant ist der Stoff, der in der Vorlesung bis einschliesslich 19.Januar und in den Übungen bis einschliesslich Blatt 11 behandelt wird.

Literatur

Die Vorlesung richtet sich nicht nach einem bestimmten Buch, die Anschaffung von Büchern ist nicht erforderlich. Es gibt kein Skript.
Interessante allgemeine Information mathematischer und philosophischer Natur findet man bei Courant und Robbins, Was ist Mathematik? oder bei Davis und Hersh, Erfahrung Mathematik.
Ebbinghaus et alii, Zahlen, diskutiert Zahlsysteme in sehr lesenswerter Weise.
Mehr über mengentheoretische Grundlagen, Axiomatik und die sehr attraktive Theorie des Zählens im Unendlichen und des Vergleichens unendlicher Mengen findet man in leicht lesbarer Form in dem Büchlein von Kamke, Mengenlehre, oder mit mehr Detail etwa bei Halmos, Naive Mengenlehre, oder in vielen Büchern mit dem Titel Mengenlehre oder Set theory.
Standardtexte zur Analysis sind zum Beispiel: Bröcker, Forster, Königsberger (jeweils Analsis I), Grauert und Lieb (Differential- und Integralrechnung I) und viele andere Bücher mit ähnlichen Titeln. Heuser, Lehrbuch der Analysis I, diskutiert viele Anwendungsbeispiele. Umfangreichere Darstellungen des Stoffes findet man auch in älteren Lehrbüchern wie von Mangoldt und Knopp, Einführung in die höhere Mathematik. Courant and Hilbert, Methoden der mathematischen Physik bieten anspruchsvolle weiterreichende Informationen.