Vorlesung Darstellungstheorie
Sommersemester 2008
Prof. Dr. S. König
Dr. R. Hartmann
Mathematisches Institut der Universität zu Köln
Vorlesung
Montag und Mittwoch 8:15-9:45 im Hörsaal des
Mathematischen Instituts, erstmals am Montag, den 7.4.2008.
Übung
Montags, 16-17:30 im Seminarraum A der Chemischen Institute,
erstmals am 21.4.2008.
Ziel der Darstellungstheorie ist es, abstrakte algebraische
Strukturen und allgemeiner in der Mathematik oder den
Naturwissenschaften auftretende Symmetrien zu konkretisieren und
für Berechnungen oder Klassifikationen zugänglich zu machen. In
der Vorlesung Darstellungstheorie wird eine Einführung gegeben, die
sich auf Grundprinzipien konzentriert und auf Beispiele von
Darstellungen von endlichen Gruppen und vor allem von Ringen und
Algebren. Vorausgesetzt werden Lineare Algebra I und II sowie
Grundkenntnisse der Algebra.
Kapitel 1: Beispiele und Definitionen
Darstellungen von Gruppen, Beispiel symmetrische Gruppe auf drei
Buchstaben, Äquivalenz / Isomorphie von Darstellungen. Köcher,
Darstellungen von Köchern, Homomorphismen und Isomorphismen, direkte
Summen, zerlegbar und unzerlegbar, Beispiel: A_1 (Vektorräme), A_2
(Gauss-Elimination), Kronecker (Paare von Matrizen), Schleife
(Jordan-Normalform), n-Unterraum-Problem, unendlich viele nichtisomorphe
Darstellungen beim 4-Unterraum-Problem (4 Geraden in einer Ebene).
April 7, 9
Kapitel 2: Algebren, Darstellungen und Moduln
k-Algebren (assoziativ mit Eins), Beispiel Gruppenalgebra, Beispiel
Wegealgebra (mit Beispiel linear orientierter A_n: obere Dreiecksmatrizen),
Darstellungen von Algebren, Beispiel Gruppendarstellungen, Beispiel
Darstellungen von Köchern, A-Linksmoduln, Vergleich Moduln und
Darstellungen, Ideale als Moduln.
April 9,14,16
Kapitel 3: Radikale und einfache Moduln
Teilmoduln, einfache Moduln, Modulhomomorphismen, Jacobson-Radikal einer
Algebra, Charakterisierungen der Elemente von rad(A), Radikal eines Moduls,
Annullatoren von einfachen Moduln, halbeinfache Moduln, die Algebra
A/rad(A), Nakayamas Lemma, rad(A)M=rad(M), Beispiel: zyklische Gruppe mit
zwei Elementen.
April 16, 21,23, 28
Kapitel 4: Halbeinfache Algebren
Satz von Maschke, einfache Algebren, Schurs Lemma, Satz von Weierstrass und
Dedekind, Satz von Wedderburn und Artin, Idempotente: primitiv, orthogonal,
zentral-primitiv.
April 28, 30, Mai 5
Kapitel 5: Kompositionsreihen und Zerlegungen
Kompositionsreihen, Kompositionsfaktoren und Multiplizitäten, Satz von
Jordan und Hölder, Zerlegungen und Idempotente in
Endomorphismenringen, projektive Moduln als direkte Summanden und durch
Hochhebungseigenschaft, projektive Moduln und halbeinfache Moduln,
eindeutige Zerlegung von projektiven Moduln und von Idempotenten, Satz von
Krull-Remak-Schmidt.
Mai 7, 19, 21
Kapitel 6: Dynkindiagramme und der Satz von Gabriel
Endlicher Darstellungstyp, Dynkindiagramme, Bilinearformen, quadratische
Formen und Wurzeln, Radikal einer Form, Dynkin entspricht positiv
definit, Euklidisch entspricht positiv semidefinit, Spiegelungsfunktoren an
Quellen und an Senken, zulässige Anordnung, Spiegelungsfunktoren und
Spiegelungen von Dimensionsvektoren, Orientierungsunabhängigkeit der
Isomorphieklassen unzerlegbarer Darstellungen von Köchern,
Coxeterfunktoren und Coxtertransformation, projektive und injektive
Darstellungen durch Spiegeln von einfachen, der Satz von Gabriel mit Beweis
der Bijektion zwischen positiven Wurzeln und Isomorphieklassen
unzerlegbarer Darstellungen, Beispiel A_4.
Mai 26, 28, Juni 2, 4, 9, 11, 16, 18, 23.
Kapitel 7: Euklidische Diagramme
Präprojektive, präinjektive und reguläre Darstellungen.
Klassifikation der darstellungsendlichen Wegealgebren. Beispiel: der
Kronecker-Köcher und Normalformen von Paaren von Matrizen:
präprojektive und präinjektive Darstellungen, die
Röhrenfamilie der regulären Darstellungen und die projektive
Gerade P_1(k), Skizze der
Klassifikation. Bemerkungen zu zahmen und wilden Algebren.
Juni 23, 25, 30, Juli 2.
Glossar(vollständige
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Übungsblätter:
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12
Literatur:
Curtis and Reiner, Representation theory of finite groups and associative
algebras.
Curtis and Reiner, Methods of representation theory I, II.
Auslander, Reiten and Smalo, Representation theory of artin algebras.
Assem, Simson and Skowronski, Elements of the representation theory of
associative algebras I, II, III.
Anderson and Fuller, Rings and categories of modules.
Darstellungstheorie-Skript von Claus Michael Ringel und Jan Schröer,
aktuelle
Version
Skripten von William Crawley-Boevey, insbesondere zur Darstellungstheorie
von Köchern, siehe
hier.
Skript von Henning Krause zu Spiegelungsfunktoren, siehe
hier.
Scheinerwerb
Die Klausur wird am Montag, den 7.7.2008 von 8:15 bis 9:45 Uhr im
Hörsaal des MI
stattfinden. Voraussetzung für die Teilnahme ist regelmässige
Bearbeitung der Übungsaufgaben (50 % der möglichen Punkte) und
aktive Teilnahme in den Übungen (zweimaliges Vorrechnen).
Kontakt und Sprechzeiten
Prof. Dr. S. Koenig
Sprechzeiten Mittwochs 10.30-11.30 Uhr und nach Vereinbarung
Zimmer 106 im Mathematischen Institut
Telefon 0221-470-3431
email skoenig(at)math.uni-koeln.de
Dr. R. Hartmann
Sprechzeiten Montags 10-11 Uhr, andere Zeiten nach Vereinbarung
Zimmer 111b im Mathematischen Institut
Telefon 0221-470-3713
email rhartman(at)math.uni-koeln.de