SoSe 09 Marinescu / Erat 1. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 20.–21.04.09 in den Übungen

1. Aufgabe (2 + 2 Punkte)

(a) Bestimme Real– und Imaginärteil von z = \frac{i}{(1 + i)^{4}} + \frac{i}{(1 − i)^{4}} .

(b) Für z ∈ ℂ bestimme Real– und Imaginärteil von e^{iz} und cos z.

(c) Sei n > 1. Zeige: ∑_{k=1}^{n} e^{i2πk/n} = 0 .

2. Aufgabe (2 + 2 Punkte)

(a) Seien p, q ∈ ℂ, p ≠ q, und s > 0. Beschreibe die Menge

A = { z ∈ ℂ | |z − p| = s|z − q| }

und gebe (jeweils) eine Parameterdarstellung an.

(b) Seien p, q ∈ ℂ und s > |p − q|. Beschreibe die Menge

E = { z ∈ ℂ | |z − p| + |z − q| = s } .

Für p ≥ 0 und q = −p zeige

E = \{x + iy ∈ ℂ | (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} = 1 , (x, y) ∈ ℝ^{2} \} ,

wobei 2a = s und b = \sqrt{a^{2} − p^{2}} . Gebe eine Parameterdarstellungen an.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei ℂ̂ = ℂ ∪ {∞} und

f : ℂ̂ → ℂ̂ , f(z) = z + \frac{1}{z} .

(a) Seien 𝔻 = \{|z| < 1\} und U = ℂ̂ \ \overline{𝔻}. Zeige:

f|_{𝔻} : 𝔻 → ℂ̂ \ [−2, 2] und f|_{U} : U → ℂ̂ \ [−2, 2] sind bijektiv.

(b) Seien K_{n} = {|z| = 2^{n}} und H_{k} = {re^{ikπ/6} | r > 0}.

Bestimme die Bilder f(K_{n}) für n = −1, 0, 1 und f(H_{k}) für k = 1, 2, 3.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Seien Q, R, S ∈ ℂ die Mittelpunkte der Außenquadrate eines Dreiecks Δ(A, B, C). Rekonstruiere die Eckpunkte A, B, C ∈ ℂ des Dreiecks.

[figure: A; B; C; Q; R; S]