SoSe 09 Marinescu / Erat

2. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 27.–28.04.09 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei 𝔻 = {z ∈ ℂ | |z| < 1} die Einheitskreisscheibe und a ∈ 𝔻.

Zeige, daß f : 𝔻 → 𝔻, f(z) = \frac{z − a}{\overline{a}z − 1} , bijektiv ist, und bestimme f ∘ f.

(b) Sei ℍ = {z ∈ ℂ | Im z > 0} die obere Halbebene. Zeige: z ∈ ℍ ⟺ −1/z ∈ ℍ.

Zeige, daß g : ℍ → 𝔻, g(z) = \frac{z − i}{z + i} , bijektiv ist, und bestimme g^{−1}.

2. Aufgabe (4 + 2 Punkte)

(a) Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet (d.h. offen und zusammenhängend). Zeige, daß G auch wegzusammenhängend ist.

(b) Seien G_{1} und G_{2} Gebiete mit G_{1} ∩ G_{2} ≠ ∅. Entscheide (Beweis oder Gegenbeispiel), ob (i) G_{1} ∪ G_{2} und (ii) G_{1} ∩ G_{2} Gebiete sind.

(c) Sei f(z) = z^{2} + c. Finde die Häufungswerte der Folge z_{1} = 0, z_{n+1} = f(z_{n}), für (i) c = 1/4 , (ii) c = i/4 ; ohne Beweis: (iii) c = \frac{1}{4} + \frac{i}{2} , (iv) c = −1 + \frac{i}{4} .

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f : ℂ → ℂ, f(z) = |z|^{2}. In welchen Punkten ist f komplex differenzierbar und in welchen Punkten holomorph? Ist f reell differenzierbar?

(b) Seien f, g reell differenzierbar mit f(z) = w. Zeige:

(i) \frac{∂\overline{f}}{∂z} = \overline{(\frac{∂f}{∂\overline{z}} )},

(ii) \frac{∂(g ∘ f)}{∂z} = \frac{∂g}{∂w} \frac{∂f}{∂z} + \frac{∂g}{∂\overline{w}} \frac{∂\overline{f}}{∂z} .

Zusatzaufgabe (+ 2 Punkte) Betrachte (a − b)^{3} + 3ab(a − b) + b^{3} − a^{3} = 0 und bestimme für p, q ∈ ℂ eine Lösung der Gleichung z^{3} + pz + q = 0 . Wie findet man weitere Lösungen?