SoSe 09 Marinescu / Erat

3. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 04.–05.05.09 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z −z_{0})^{n} eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius

und a_{1} ≠ 0. Zeige, daß es r > 0 gibt, so daß f in D_{r}(z_{0}) = {|z − z_{0}| < r} injektiv ist.

(b) Bestimme alle z ∈ ℂ, für die die Reihe ∑_{n≥0} n(n + 1)z^{n} konvergiert, und

berechne den Wert der Reihe für diese z.

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, daß ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} für z ∈ \overline{𝔻} \ \{−1\} konvergent ist.

(b) Sei ℂ_{−} = ℂ \ {z ∈ ℝ | z ≤ 0} die geschlitzte Ebene und log : ℂ_{−} → ℂ der Hauptzweig des Logarithmus.

Zeige, daß log(z + 1) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} für z ∈ 𝔻.

(c) Zeige, daß (b) auch für z ∈ ∂𝔻 \ {−1} gilt. (+ 2 Punkte)

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei τ ∈ [0, 2π) und G = ℂ \ {re^{iτ} | r ≥ 0}. Bestimme eine stetige Funktion w : G → ℂ mit (w(z))^{2} = z für z ∈ G. Wohin kann w stetig fortgesetzt werden? Finde Punkte a, b ∈ G, so daß w(a^{2}) = a und w(b^{2}) = −b.

(b) Finde (möglichst große) Gebiete, auf denen ein Zweig von

(i) Log (\frac{z − i}{z + i}) , (ii) \sqrt[3]{z − \frac{i}{z} + i} , (iii) Log (e^{iπ} \frac{z − i}{z + i})

als holomorphe Funktion erklärt werden kann.

Zusatzaufgabe (+ 2 Punkte) Sei M ⊂ ℂ ein Sterngebiet, d.h. M ist offen und es gibt ein z_{0} ∈ M, so daß für jedes z ∈ M die Strecke [z, z_{0}] ebenfalls in M liegt. Zeige, daß das Komplement ℂ̂ \ M zusammenhängend ist. Tip: ℂ̂ \ M zusammenhängend ⟺ ℂ \ M besitzt keine beschränkte Zusammenhangskomponente.