SoSe 09 Marinescu / Erat

4. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 11.–12.05.09 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Zeige:

(a) Für b ∈ D_{r}(a) läßt sich f auch in eine Potenzreihe um b entwickeln. Bestimme die Koeffizienten bzgl. der Entwicklung um b.

(b) Sei z_{k} → a eine konvergente Folge mit z_{k} ≠ a. Ist f(z_{k}) = 0 für z_{k} ∈ D_{r}(a), dann gilt a_{n} = 0 für alle n = 0, 1, 2, …, d.h. f ≡ 0.

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f(z) = z^{n} mit n ∈ ℤ \ {−1}, und sei γ : [0, 1] → ℂ eine glatte Kurve von a nach b, wobei 0 ∉ |γ|, falls n < 0. Dann gilt

∫_{γ} z^{n} dz = \frac{b^{n+1} − a^{n+1}}{n + 1} .

(b) Betrachte die positiv orientierte Kreislinie ∂D_{r}(a) : t ↦ a + re^{i2πt}, 0 ≤ t ≤ 1. Dann gilt

\frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{r}(a)} \frac{dz}{z − a} = 1 .

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei γ eine geschlossene glatte Kurve. Für z ∉ |γ| definiere die Windungszahl

n(γ, z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{dζ}{ζ − z} .

Dann gilt n(γ, z) ∈ ℤ, und n(γ, z) ist in jeder Komponente von ℂ \ |γ| konstant:

(i) Betrachte zuerst eine glatte Kurve γ : [0, 1] → ℂ von a nach b und setze

φ(t) = ∫_{0}^{t} \frac{γ̇(τ)}{γ(τ) − z} dτ für t ∈ [0, 1] .

Zeige: \frac{d}{dt}[(γ(t) − z)e^{−φ(t)}] ≡ 0 und folgere exp ∫_{γ} \frac{dζ}{ζ − z} = \frac{b − z}{a − z} .

(ii) Benutze, daß n(γ, z) stetig ist in ℂ \ |γ|.

Zusatzaufgabe (+ 2 Punkte) Seien G, H ⊂ ℂ beschränkte Gebiete und sei f : G → H biholomorph. Zeige: Ist f stetig auf \overline{G}, dann ist f(∂G) = ∂H.