SoSe 09 Marinescu / Erat

5. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 18.–19.05.09 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei G ein konvexes Gebiet, d.h. zu a, b ∈ G liegt auch die Strecke [a, b] in G. Sei f : G → ℂ holomorph (und f′ stetig). Zeige: Ist |f′(z) − 1| < 1 für alle z ∈ G, dann ist f injektiv.

(b) Sei f : 𝔻 → ℂ, f(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} . Zeige: f(z) = ∑_{n=1}^{∞} nz^{n} für z ∈ 𝔻.

Zeige, daß f injektiv ist, und bestimme f(𝔻).

2. Aufgabe (4 Punkte) Zeige:

(a) (i) Sei Δ ⊂ ℂ ein offenes Dreieck. Sei f holomorph in Δ und stetig auf \overline{Δ}. Dann gilt ∫_{∂Δ} f(z) dz = 0. (ii) Sei D ein Sterngebiet und L eine Gerade. Sei f stetig in D und holomorph in D \ L. Dann besitzt f eine Stammfunktion auf D.

(b) Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph mit |f(z) − 1| < 1 für alle z ∈ G. Dann gilt ∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)} dz = 0 für jeden geschlossenen Weg γ in G.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei G = ℂ \ {iy ∈ ℂ | |y| ≥ 1, y ∈ ℝ} und

f : ℂ \ \{±i\} ⟶ ℂ , f(z) = \frac{1}{1 + z^{2}} .

Bestimme eine Stammfunktion von f|_{G}. Besitzt f eine Stammfunktion auf ℂ\{±i}?

Berechne ∫_{|z−i|=1}f(z) dz, ∫_{|z+i|=1}f(z) dz und ∫_{|z|=2} f(z) dz.

Zusatzaufgabe (+ 2 Punkte) Sei G ein Gebiet und z ∈ G. Sei w ∈ ∂G ein Punkt auf dem Rand. Gibt es dann immer einen Weg γ : [0, 1] → ℂ von z nach w mit γ([0, 1)) ⊂ G, d.h. der bis auf den Endpunkt in G verläuft?