SoSe 09 Marinescu / Erat

6. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 25.–26.05.09 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Berechne

∫_{|z|=1} \frac{sin z}{z} dz , ∫_{|z+1|=1} \frac{dz}{(z + 1)(z − 1)^{3}} .

(b) Sei f : ℂ → ℂ holomorph und z_{1}, z_{2} ∈ ℂ, z_{1} ≠ z_{2}. Zeige

∫_{|z|=r} \frac{f(z)}{(z − z_{1})(z − z_{2})} dz = 2πi \frac{f(z_{2}) − f(z_{1})}{z_{2} − z_{1}} , falls r > max\{|z_{1}|, |z_{2}|\} .

Was gilt für z_{2} → z_{1} ?

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f : G → ℂ holomorph und r > 0 mit \overline{D_{r}(a)} ⊂ G. Zeige: Ist |f(a)| < min {|f(z)| | |z − a| = r}, dann hat f eine Nullstelle in D_{r}(a).

(b) Sei f : 𝔻 → 𝔻 holomorph. Zeige, daß |f′(z)| ≤ \frac{1}{1 − |z|} ≤ \frac{1}{(1 − |z|)^{2}} in 𝔻.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei γ eine geschlossene glatte Kurve und n(γ, z) die Windungszahl. Zeige:

(a) n(γ, z) = 0 für alle z in der unbeschränkten Komponente von ℂ \ |γ|.

(b) Ist z ∉ |γ| und γ̃(t) = z + \frac{γ(t)−z}{|γ(t)−z|} , dann gilt n(γ, z) = n(γ̃, z).

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Sei a ∈ G und r > 0 so, daß D := D_{r}(a) ⊂ G. Zeige:

|\frac{f(z) − f(w)}{z − w} − f′(a)| ≤ ∥f′ − f′(a)∥_{D} für alle z, w ∈ D, z ≠ w.

Folgere: Sind z_{n} ≠ w_{n} zwei Folgen, die gegen a konvergieren, dann gilt

lim_{n→∞} \frac{f(z_{n}) − f(w_{n})}{z_{n} − w_{n}} = f′(a) .

Ist f′(a) ≠ 0, dann gibt es eine Umgebung U von a, in der f injektiv ist.