SoSe 09 Marinescu / Erat

7. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 08.–09.06.09 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f : 𝔻 → 𝔻 holomorph. Zeige, daß

|f′(z)| ≤ \frac{1 − |f(z)|^{2}}{1 − |z|^{2}} für alle z ∈ 𝔻 .

Wann gilt Gleichheit?

(b) Sei f : 𝔻 → G biholomorph. Zeige, daß

|f′(0)| ≥ dist(f(0), ∂G) .

2. Aufgabe (8 Punkte)

(a) Sei D ein Gebiet und seien f, g : D → ℂ holomorph. Zeige:

(i) f · g ≡ 0 ⇒ f ≡ 0 oder g ≡ 0 ,
(ii) f^{2} ≡ g^{2} ⇒ f ≡ g oder f ≡ −g .

(b) Gibt es eine holomorphe Funktion f : ℂ → ℂ mit f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n − 1} für n ∈ ℕ?

(c) Sei f : ℂ → ℂ holomorph mit f(ℝ) ⊂ ℝ. Zeige, daß f(\overline{z}) = \overline{f(z)} für alle z ∈ ℂ.

(d) Sei f : ℂ \ {0} → ℂ, f(z) = 1 − e^{1/z}. Finde eine injektive Folge (z_{n}), so daß f(z_{n}) = 0 für alle n ∈ ℕ. Ist dies ein Widerspruch zum Identitätssatz?

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f : 𝔻 → ℂ holomorph und lim sup_{z∈𝔻,z→ζ}|f(z)| ≤ 1 ∀ |ζ| = 1, ζ ≠ 1 .

Ist f beschränkt?

(b) Sei f holomorph in einer Umgebung von \overline{𝔻}. Ist |f(z)| ≡ c konstant auf ∂𝔻, dann ist f eine rationale Funktion.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0.

Für 0 < ρ < r sei M_{ρ} = max_{|z|=ρ}{|f(z)|}. Zeige, daß ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2}ρ^{2n} ≤ M_{ρ}^{2} .

Beweise damit das Maximumprinzip.