SoSe 09 Marinescu / Erat

8. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 15.–16.06.09 in den Übungen

1. Aufgabe (3 Punkte)

(a) Seien f, g : ℂ → ℂ holomorph und gelte |f(z)| ≤ |g(z)| für alle z ∈ ℂ. Dann ist f = λ · g für ein λ ∈ ℂ.

(b) Sei f eine nicht–konstante ganze Funktion. Dann liegt f(ℂ) ⊂ ℂ dicht.

(c) Bestimme alle ganzen Funktionen f mit f ∘ f = id_{ℂ}.

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, daß es keine biholomorphe Abbildung {0 < |z| < 1} → {r < |z| < 1} geben kann, wenn r > 0.

(b) Bestimme jeweils die Art der Singularität im Nullpunkt von

(i) \frac{z}{e^{z} − 1}  ,  (ii) z cot z .

3. Aufgabe (5 Punkte) Zeige:

(a) (i) Jede meromorphe Funktion auf ℂ̂ ist rational.

(ii) Eine meromorphe Funktion f in ℂ mit lim_{z→∞} f(z) = ∞ ist rational.

(b) Sei f ≢ 0 eine meromorphe Funktion auf ℂ̂ und D = N(f) ∪ P (f) die Menge der Null– und Polstellen von f in ℂ̂. Dann gilt ∑_{z∈D} ord_{z} f = 0 .

(c) Seien z_{1}, …, z_{n} ∈ ℂ̂ paarweise verschieden, und seien m_{1}, …, m_{n} ∈ ℤ so, daß m_{1} + … + m_{n} = 0. Dann gibt es eine meromorphe Funktion f auf ℂ̂ mit

ord_{z} f = \{ \begin{matrix}m_{j} & , falls z = z_{j} für ein j ∈ \{1, …, n\} \\ 0 & , falls z ∉ \{z_{1}, …, z_{n}\} . \end{matrix}

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(i) Sei G ein beschränktes Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Dann gilt

|f(z)| ≤ sup_{ζ∈∂G} lim sup_{G∋w→ζ} |f(w)| ∀ z ∈ G .

(ii) Sei f : 𝔻 → ℂ wie in Aufgabe 3(a), Blatt 7. Zeige:

Ist f beschränkt, dann ist |f(z)| ≤ 1 für alle z ∈ 𝔻.