SoSe 09 Marinescu / Erat

9. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 22.–23.06.09 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Entwickle f(z) = \frac{1}{(z − 1)(z − 2)} in eine Laurent–Reihe in

(i) A_{1} = {0 < |z| < 1} , (ii) A_{2} = {1 < |z| < 2} .

(b) Bestimme den Hauptteil von cot^{2} z um den Nullpunkt.

2. Aufgabe (2 Punkte)

(a) Seien f_{n}, f : 𝔻 → ℂ holomorph, f_{n}(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}^{(n)}z^{k} , f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} .

Zeige: Konvergiert f_{n} → f lokal gleichmäßig, dann a_{k}^{(n)} → a_{k} (n→∞) ∀ k. Gilt auch die Umkehrung?

(b) Sei ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} . Zeige, daß ζ in \{ Re s > 1\} lokal gleichmäßig konvergiert

und dort eine holomorphe Funktion definiert.

3. Aufgabe (6 Punkte)

(a) Sei G ein Gebiet und seien f_{n} : G → ℂ holomorph und nullstellenfrei in G. Konvergiert f_{n} lokal gleichmäßig gegen f : G → ℂ und ist f ≢ 0, dann hat auch f keine Nullstelle in G.

(b) Sei f : ℂ̂ → ℂ̂ eine rationale Funktion und D = D_{r}(a) = {|z − a| < r} eine Kreisscheibe, auf deren Rand γ = ∂D keine Null– oder Polstelle von f liegt. Dann gilt

n(f ∘ γ, 0) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)} dz = ∑_{z∈D} ord_{z} f = ∑_{j=1}^{n} n(γ, b_{j}) − ∑_{j=1}^{m} n(γ, c_{j}) ,

wobei b_{j} die Nullstellen und c_{j} die Polstellen von f mit Vielfachheit sind.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(a) Sei p ein Polynom mit p(0) = 0 und p′(0) = 1, also p(z) = z +a_{2}z^{2} +…+a_{n}z^{n}. Ist p′(z) ≠ 0 für alle |z| < 1, dann gilt |a_{n}| ≤ 1/n.

(b) Sei p ein Polynom vom Grad n ≥ 2 mit nur einfachen Nullstellen z_{1}, …, z_{n}, d.h. sie sind paarweise verschieden und p′(z_{j}) ≠ 0 für j = 1, …, n. Dann gilt

∑_{j=1}^{n} \frac{1}{p′(z_{j})} = 0 .