SoSe 09 Marinescu / Erat

10. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: 29.–30.06.09 in den Übungen

Hinweis: Für die Klausurzulassung müssen mindestens 60 Punkte aus den Übungsblättern 1–10 erreicht werden.

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei f meromorph in a ∈ ℂ.

(a) Ist a Polstelle erster Ordnung, dann gilt res_{a} f = lim_{z→a}(z − a)f(z) .

(b) Ist a eine einfache Nullstelle von f, dann gilt res_{a} \frac{1}{f} = 1/f′(a) .

Hat f in ∞ eine isolierte Singularität, so definiert man res_{∞} f = −\frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{R}} f(z) dz, wobei der Radius der Kreisscheibe so groß gewählt wird, daß f keine weitere Polstelle im Komplement der Kreisscheibe hat. Zudem sei wie üblich n(∂D_{R}, 0) = 1.

(c) Dann gilt res_{∞} f = − res_{0} f̃, wobei f̃(z) = z^{−2}f(\frac{1}{z}) .

(d) Sei f : ℂ̂ → ℂ̂ eine rationale Funktion. Dann gilt ∑_{p∈ℂ̂}res_{p} f = 0 .

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f nicht–konstant und holomorph in a ∈ ℂ.

Dann gilt ν_{f}(a) = n ⟺ ord_{a} f′ = n − 1 .

(b) Sei p : ℂ → ℂ ein nicht–konstantes Polynom, d.h. grad p = n ≥ 1 .

Dann gilt

∑_{z∈ℂ}(ν_{p}(z) − 1) = n − 1 .

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Bestimme die Anzahl der Nullstellen von

f(z) = z^{5} + iz^{3} − 4z + i in {1 < |z| < 2} .

(b) Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Weiter habe f in z_{0} eine k–fache w_{0}–Stelle, 1 ≤ k < ∞. Dann gibt es Umgebungen V ⊂ G von z_{0} und W von w_{0}, so daß jedes w ∈ W \ {w_{0}} genau k verschiedene Urbilder z_{1}, …, z_{k} in V hat, und zwar mit ν_{f}(z_{j}) = 1 für j = 1, …, k.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 8 Punkte)

Seien G, H ⊂ ℂ Gebiete und f : G → H holomorph. Dann sind äquivalent:

(i) Ist z_{n} ∈ G eine Folge ohne Häufungspunkt in G, dann hat die Folge f(z_{n}) keinen Häufungspunkt in H. Man nennt (z_{n}) auch Randfolge und schreibt z_{n} → ∂G. Somit: z_{n} → ∂G ⇒ f(z_{n}) → ∂H, f bildet Randfolgen auf Randfolgen ab.

(ii) Ist K ⊂ H kompakt, so ist auch f^{−1}(K) kompakt.

(iii) Es gibt ein k ∈ ℕ, so daß N_{f}(w) ≡ k für alle w ∈ H. Dies bedeutet, jeder Wert w ∈ H wird in G genau k–mal angenommen, f : G ⟶^{k:1} H. (Tip: Aufgabe 3b)

(iv) f ist surjektiv (also nicht–konstant) und bildet abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab.

Eine stetige Abbildung f : G → H, die (ii) erfüllt, nennt man eigentlich. Eine holomorphe Abbildung f : G → H, die (i) erfüllt, nennt man endlich.

Die Fachschaft informiert: Am Fr. 26.6.09 veranstaltet die Fachschaft wieder ein großes Sommerfest! Im Hof des Mathematischen Instituts wird ab 18 Uhr gegrillt und für Getränke ist auch gesorgt. Ihr seid herzlich eingeladen, wir freuen uns auf Euch! Eure Fachschaft