SoSe 09 Marinescu / Erat

11. Blatt zur Funktionentheorie Abgabe: freiwillig in den Übungen

1. Aufgabe Sei f in 𝔻 holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Dann gilt:

(i) Ist f gerade, d.h. f(−z) = f(z), dann gilt res_{z} f = − res_{−z} f für z ∈ 𝔻; insbesondere res_{0} f = 0.

(ii) Ist f ungerade, d.h. f(−z) = −f(z), dann gilt res_{z} f = res_{−z} f für z ∈ 𝔻.

2. Aufgabe Sei G ein einfach–zusammenhängendes Gebiet, S ⊂ G eine diskrete Teilmenge und f holomorph in G \ S. Dann gilt: f hat eine Stammfunktion in G \ S genau dann, wenn alle Residuen (in G) von f verschwinden.

3. Aufgabe Zeige, daß für λ > 1 die Gleichung e^{−z} + z = λ in der Halbebene {Re z > 0} genau eine Lösung besitzt.

4. Aufgabe Berechne folgende Integrale:

(a) ∫_{−π}^{π} \frac{1 + 2 cos ϑ}{5 + 4 sin ϑ} dϑ  (b) ∫_{0}^{2π}(cos ϑ)^{n} dϑ

(c) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{2}}{1 + x^{6}} dx  (d) ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos x}{(x^{2} + a^{2})^{2}} dx (a > 0)