SS 2012 Marinescu / Erat

1. Blatt zur Analysis II Abgabe: 16.–18.04.12 in den Übungen

                   http://www.mi.uni-koeln.de:8920

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Berechne explizit die dritten Taylorpolynome in 0 zu den Funktionen

\sqrt{1 + x}^{3} , \frac{1}{\sqrt{1 + x}} und \sqrt[5]{1 + x} .

(b) Gebe Näherungen für log(0.9) und sin(91^{∘}) mit Fehlerabschätzung an, und zwar jeweils mit Hilfe eines geeigneten zweiten Taylorpolynoms und des Lagrange– Restgliedes.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei x_{0} ∈ ℝ beliebig.

(a) Zeige, dass cos : ℝ → ℝ auf ganz ℝ durch die Taylorreihe in x_{0} dargestellt wird, d.h. bezeichnet T_{x_{0},n} das n-te Taylorpolynom der cos-Funktion in x_{0}, so gilt T_{x_{0},n}(x) → cos(x) für n → ∞ und jedes x ∈ ℝ. (Tipp: Lagrange-Restglied)

(b) Berechne T_{\frac{π}{4} ,2} und zeige, dass dieses Polynom auf [\frac{π}{4} −0.1 , \frac{π}{4} +0.1] von cos um weniger als einen Fehler von 2 · 10^{−4} abweicht.

3. Aufgabe (4 + 4 Punkte) Beweise:

(a) f_{n} : [0, 1] → ℝ mit f_{n}(x) = x(1 − x)^{n} konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion.

(b) g_{n} := n · f_{n} : [0, 1] → ℝ konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. (Tipp: g_{n}(\frac{1}{n}) = ?)

Sei h_{n} : ℝ → ℝ definiert durch h_{n}(x) := nxe^{−nx^{2}}.

(c) Konvergieren die h_{n} punktweise? Falls ja, gegen welche Funktion?

(d) Auf welchen abgeschlossenen Intervallen I ⊂ ℝ konvergieren die h_{n} gleichmäßig?

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ, und seien f_{n} : D → ℂ, g_{n} : D → ℂ zwei Folgen von Funktionen, die gleichmäßig gegen f : D → ℂ bzw. g : D → ℂ konvergieren. Zeige:

(a) Die Funktionenfolge f_{n} + g_{n} konvergiert gleichmäßig gegen f + g.

(b) Falls die f_{n} , g_{n} beschränkte Funktionen sind, so konvergiert die Funktionenfolge f_{n} · g_{n} gleichmäßig gegen f · g. (Tipp: Es gibt eine gemeinsame Schranke für alle |f_{n}|, warum?)