SS 2012 Marinescu / Erat

2. Blatt zur Analysis II Abgabe: 23.–25.04.12 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, dass ein Polynom durch seine Taylorreihe in einem beliebigen Punkt x_{0} auf ℝ darstellbar ist.

(b) Zeige mit Hilfe des Satzes über Vertauschbarkeit von Differentiation und Summation bei Potenzreihen, dass cos′ x = − sin x und sin′ x = cos x für x ∈ ℝ.

2. Aufgabe (4 Punkte) Zeige, dass für x ∈ (−1, 1) gilt:

(a) arctan x = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} − \frac{x^{7}}{7} ± …

(b) arcsin x = x + \frac{1}{2} · \frac{x^{3}}{3} + \frac{1 · 3}{2 · 4} · \frac{x^{5}}{5} + \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6} · \frac{x^{7}}{7} + …

Anleitung: Entwickle jeweils zunächst die Ableitung der genannten Funktionen in eine Potenzreihe (man braucht dazu übrigens nicht auf die Definition der Taylorreihe zurückzugreifen).

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei I = (a, b), f : I → ℝ zweimal differenzierbar und f′′(x) > 0 für alle x ∈ I.

(a) Zeige: f(x) + f′(x)(y − x) < f(y) für alle x ≠ y in I. Was bedeutet dies geometrisch?

(b) Folgere: (i) e^{y} > 1 + y für alle y ∈ ℝ \ {0}; (ii) αx^{α−1}(x − y) > x^{α} − y^{α} > αy^{α−1}(x − y) für alle x ≠ y in ℝ_{+} und α > 1 .

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Zeige:

(a) \frac{π}{4} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} ± … (Leibnizsche Reihe für π)

(b) \frac{π}{2} = 1 + \frac{1}{2} · \frac{1}{3} + \frac{1 · 3}{2 · 4} · \frac{1}{5} + \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6} · \frac{1}{7} + …