SS 2012 Marinescu / Erat

3. Blatt zur Analysis II Abgabe: 30.04.–02.05.12 in den Übungen

Hinweis: Es gibt zwei zusätzliche Proseminare.

Prof. Friedl: http://www.mi.uni-koeln.de/~stfriedl/proseminar-knotentheorie-2012.pdf
Prof. Sweers: http://www.mi.uni-koeln.de/~gsweers/unterricht.html

1. Aufgabe (4 Punkte)

(i) Sei f : [a, b] → [α, β] eine Regelfunktion und φ : [α, β] → ℝ eine stetige konvexe Funktion. Dann gilt

φ(\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(x) dx) ≤ \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} (φ ∘ f)(x) dx .

(ii) Sei f : [a, b] → [0, ∞) eine Regelfunktion und p > 1. Zeige, dass

(\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(x) dx)^{p} ≤ \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f^{p}(x) dx .

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei I ⊂ ℝ ein offenes Intervall und sei f : I → ℝ konvex. Zeige, dass f in jedem kompakten Teilintervall von I eine Lipschitz–Bedingung erfüllt und damit in I stetig ist.

(b) Ist jede konvexe Funktion stetig?

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Seien d_{1} und d_{2} Metriken auf einer Menge X. Zeige, dass dann auch d(x, y) := max{d_{1}(x, y), d_{2}(x, y)} eine Metrik auf X ist. Freiwilliger Zusatz: Für “min” statt “max” gilt das nicht immer; finde Gegenbeispiele auf X = ℝ^{2}.

(b) (X_{1} , d_{1}) und (X_{2} , d_{2}) seien metrische Räume. Für x, y ∈ X_{1}×X_{2} sei d(x, y) := max{d_{1}(x_{1}, y_{1}), d_{2}(x_{2}, y_{2})}. Zeige, dass d eine Metrik auf X_{1} × X_{2} ist.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Eine Menge M ⊂ ℝ^{n} heißt konvex, wenn mit x, y ∈ M stets auch die Verbindungsstrecke {(1 − λ)x + λy | λ ∈ [0, 1]} in M enthalten ist. Zeige:

(a) Ist ∥·∥ eine beliebige Norm auf ℝ^{n}, so ist \overline{B}_{1}(0) := \{x ∈ ℝ^{n} | ∥x∥ ≤ 1\} konvex.

(b) Umgekehrt: Sei K ⊆ ℝ^{n} konvex und (bzgl. der euklidischen Standardmetrik) abgeschlossen und beschränkt. Weiterhin sei K punktsymmetrisch (d.h. mit x ∈ K sei stets auch −x ∈ K), und es existiere ε > 0 so, dass alle x ∈ ℝ^{n} mit euklidischer Norm ≤ ε in K liegen. Dann ist durch

∥0∥ := 0 und ∥x∥ := \frac{1}{max\{t ∈ ℝ | tx ∈ K\}} für x ≠ 0

eine Norm auf ℝ^{n} definiert, und \overline{B}_{1}(0) = K. Tipp: \frac{1}{r^{−1}+s^{−1}} (x + y) = \frac{s}{r+s}rx + \frac{r}{r+s}sy.