SS 2012 Marinescu / Erat

4. Blatt zur Analysis II Abgabe: 07.–09.05.12 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Wir betrachten die Normen ∥z∥_{∞} = max\{|z_{1}|, …, |z_{n}|\}, ∥z∥_{2} = \sqrt{|z_{1}|^{2} + … + |z_{n}|^{2}} und ∥z∥_{1} = |z_{1}|+…+|z_{n}| auf ℂ^{n}. Finde maximale Konstanten c_{n} , c′_{n} und minimale Konstanten C_{n} , C′_{n} mit

(a) c_{n}∥ · ∥_{∞} ⩽ ∥ · ∥_{2} ⩽ C_{n}∥ · ∥_{∞} , (b) c′_{n}∥ · ∥_{1} ⩽ ∥ · ∥_{2} ⩽ C′_{n}∥ · ∥_{1} .

2. Aufgabe (4 + 2 Punkte)

Für A ∈ M_{n×n}(ℂ) , A = (a_{ij})_{1⩽i,j⩽n}, definiere ∥A∥_{2} := \sqrt{n ; ∑_{i,j=1}|a_{ij}|^{2}} .

(a) Zeige, dass d(A, B) := ∥A − B∥_{2} eine Metrik auf M_{n×n}(ℂ) definiert.

(b) Sei (A_{k})_{k∈ℕ}, A_{k} = (a_{ij}^{(k)})_{1⩽i,j⩽n}, eine Folge in M_{n×n}(ℂ). Zeige, dass

lim_{k→∞} A_{k} = A genau dann, wenn lim_{k→∞} a_{ij}^{(k)} = a_{ij} für alle 1 ⩽ i, j ⩽ n .

Folgere, dass (M_{n×n}(ℂ), d) ein vollständiger metrischer Raum ist.

(c) Beweise, dass ∥AB∥_{2} ⩽ ∥A∥_{2} · ∥B∥_{2} für alle A, B ∈ M_{n×n}(ℂ).

(d) Zeige, dass für jedes A ∈ M_{n×n}(ℂ) die Reihe exp(A) := ∑_{k⩾0} \frac{1}{k!}A^{k} konvergiert.

(e) Berechne exp (\begin{matrix}0 & −t \\ t & 0 \end{matrix}) .

(f) Zeige: Wenn AB = BA , dann exp(A + B) = exp(A) exp(B) .

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ, und sei V = C_{b}^{0}(D, ℂ) der ℂ–Vektorraum der stetigen beschränkten Funktionen f : D → ℂ.

(a) Zeige, dass V mit der von der Supremumsnorm ∥ · ∥_{D} induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist.

(b) Sei D = [a, b] ⊂ ℝ und ∥ · ∥_{1} die durch ∥f∥_{1} := ∫_{a}^{b} |f(x)| dx definierte Norm auf V. Ist V mit der induzierten Metrik vollständig? Tipp: Betrachte f_{n} : [0, 1] → ℂ, f_{n} = 0 auf [0, \frac{1}{2} − \frac{1}{n}], f_{n} = 1 auf [\frac{1}{2} + \frac{1}{n}, 1] und linear auf [\frac{1}{2} − \frac{1}{n}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}]; zeige, dass (f_{n})_{n} eine Cauchy-Folge ist, die nicht konvergiert. Würde ein Grenzwert f ∈ V existieren, so könnte man zeigen, dass f = 0 auf [0, \frac{1}{2}), f = 1 auf (\frac{1}{2}, 1], so dass f nicht stetig sein könnte.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei C^{1}([0, 1]) der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf [0, 1]. Definiere

∥f∥_{1} = ∫_{0}^{1} |f(t)| dt , ∥f∥ = sup_{t∈[0,1]} |f(t)| , ⫴f⫴ = |f(0)| + ∥f′∥ .

(a) Zeige, dass ⫴ · ⫴ eine Norm ist.

(b) Zeige, dass eine konvergente Folge bzgl. ∥ · ∥ auch bzgl. ∥ · ∥_{1} konvergiert und dass eine konvergente Folge bzgl. ⫴ · ⫴ auch bzgl. ∥ · ∥ konvergiert.

(c) Untersuche die Konvergenz der Folgen f_{n}(t) = t^{n} und g_{n}(t) = \frac{1}{n} sin nt bzgl. der drei Normen. Sind diese Normen äquivalent?