SS 2012 Marinescu / Erat

5. Blatt zur Analysis II Abgabe: 14.–16.05.12 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei p ≥ 1, und sei ℓ^{p} die Menge aller Folgen (z_{ν})_{ν∈ℕ} in ℂ mit der Eigenschaft, dass ∑_{ν=1}^{∞} |z_{ν}|^{p} konvergiert. Zeige:

(a) Mit z, w ∈ ℓ^{p} und λ ∈ ℂ liegen auch z + w und λz in ℓ^{p}, wobei Addition und Multiplikation mit Skalaren gliedweise definiert sind. (Insbesondere ist ℓ^{p} ein ℂ–Vektorraum.)

(b) Durch ℓ^{p} ∋ z = (z_{ν})_{ν∈ℕ} ↦ ∥z∥_{p} := ( ∞ ; ∑_{ν=1}|z_{ν}|^{p})^{1/p} ist eine Norm auf ℓ^{p} gegeben.

(c) (ℓ^{p}, ∥ · ∥_{p}) ist ein Banachraum.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum und M ⊂ X. Es seien M̊ (Menge der inneren Punkte von M), \overline{M} (Menge der Berührpunkte) und ∂M (Menge der Randpunkte) definiert wie in der Vorlesung. Zeige:

(a) ∂M = \overline{M} \ M̊.

(b) Ist Y ein weiterer topologischer Raum und N ⊂ Y, so gilt bzgl. der Produkttopologie auf X × Y: (M × N)^{∘} = M̊ × N̊, \overline{M × N} = \overline{M} × \overline{N}, ∂(M × N) = (∂M × \overline{N} ) ∪ ( \overline{M} × ∂N).

3. Aufgabe (4 Punkte) Finde die Stetigkeitsstellen folgender Funktionen:

f : ℝ^{2} → ℝ , f(x, y) = \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & , (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & , (x, y) = (0, 0) \end{cases}

g : ℝ^{2} → ℝ , g(x, y) = \begin{cases}\frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & , (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & , (x, y) = (0, 0) \end{cases}

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(a) Gebe einen Homöomorphismus zwischen dem offenen Halbstreifen ℝ_{+} ×(−π, π) und der geschlitzten Ebene ℝ^{2} \ {(x, 0) | x ≤ 0} an (mit Beweis).

(b) Gebe einen Homöomorphismus zwischen der geschlitzten und der ungeschlitzten Ebene an.