SS 2012 Marinescu / Erat

6. Blatt zur Analysis II Abgabe: 21.–23.05.12 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(i) Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊂ X. Dann ist die Teilraumtopologie O_{A} durch die Metrik d auf A induziert.

(ii) Sind (X_{1}, d_{1}), …, (X_{n}, d_{n}) metrische Räume, so ist die Produkttopologie der

induzierten Topologien O(d_{1}), …, O(d_{n}) induziert durch die Metrik d((x_{1}, …, x_{n}), (y_{1}, …, y_{n})) = max{d_{1}(x_{1}, y_{1}), …, d_{n}(x_{n}, y_{n})} .

2. Aufgabe (4 Punkte) Ausgehend vom kompakten Intervall I = [0, 1] nehmen wir aus diesem nacheinander offene Intervalle heraus. Zunächst wird das mittlere Drittel I_{11} = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) herausgenommen, dann aus jedem der beiden Reste das mittlere Drittel I_{21} = (\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) bzw. I_{22} = (\frac{7}{9}, \frac{8}{9}), darauf aus jedem der verbleibenen vier Reste das mittlere Drittel I_{31}, I_{32}, I_{33}, I_{34} usw.

(a) Sei G die Vereinigung aller I_{ij}, i = 1, 2, …, j = 1, 2, …, 2^{i−1}. Zeige, daß die Restmenge C = I \ G kompakt ist. Sie wird als Cantorsche Menge bezeichnet.

(b) Zeige, daß C nirgends dicht ist (d.h. jedes Intervall ein zu C disjunktes Intervall enthält).

3. Aufgabe (4 + 2 Punkte) (a)

(i) Sei X ein topologischer Raum. Zeige: (a) Ist K ⊂ X kompakt und A ⊂ K abgeschlossen, so ist A kompakt.

(b) Ist X ein Hausdorff–Raum und K ⊂ X kompakt, so ist K abgeschlossen.

(ii) Zeige: (a) Ein abgeschlossener Unterraum eines Banachraums ist vollständig.

(b) Ein vollständiger Unterraum eines normierten Raums ist abgeschlossen.

(b) U(n) = {A ∈ M_{n×n}(ℂ) | AA^{∗} = E_{n}} ist eine kompakte Teilmenge von M_{n×n}(ℂ); dabei sei E_{n} die Einheitsmatrix und A^{∗} = \overline{A}^{⊤} = (\overline{a}_{ji}) für A = (a_{ij}).

(c) Ist X kompakt, Y ein Hausdorff–Raum und f : X → Y bijektiv und stetig, so ist f ein Homöomorphismus.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Zeige:

(i) Sei T : X → Y eine stetige lineare Abbildung zwischen Banachräumen. Ist T injektiv und T^{−1} : Im T → X stetig, so gilt:

(a) Im T ist abgeschlossen in Y , (b) es gibt Konstanten 0 < m ≤ M mit m∥x∥ ≤ ∥T x∥ ≤ M∥x∥ ∀ x ∈ X und es gilt ∥T^{−1}∥ = (inf_{∥x∥=1} ∥T x∥)^{−1} .

Hinweis: Für die Operatornorm gilt ∥T ∥ = sup_{x≠0} \frac{∥T x∥}{∥x∥} = sup_{∥x∥=1} ∥T x∥.

(ii) Ist X ein Banachraum und U ein abgeschlossener Unterraum, so ist X/U ein Banachraum.

Der Quotientenvektorraum X/U wird so definiert: Ist U ein Unterraum von X, so definiert die Äquivalenzrelation x ∼ y ⇔ x − y ∈ U den Quotientenvektorraum X/U als die Menge der Äquivalenzklassen [x] = { y ∈ X | y ∼ x } = x + U mit den Verknüpfungen [x] + [y] := [x + y] und λ[x] := [λx] . Sei X nun ein normierter Raum. Dann definiert ∥[x]∥ := d(x, U) eine Halbnorm auf X/U. Ist U ein abgeschlossener Unterraum, dann ist X/U ein normierter Raum. Es gilt ∥[x]∥ = d(x, U) = inf_{u∈U} ∥x − u∥ = inf{ ∥y∥ | y ∈ x + U }.