SS 2012 Marinescu / Erat

7. Blatt zur Analysis II Abgabe: 04.–06.06.12 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei X ein metrischer Raum und K ⊂ X folgenkompakt. Sei (U_{i})_{i∈I} eine Familie offener Mengen in X mit K ⊂ ⋃_{i∈I} U_{i}. Zeige:

(a) Es existiert r > 0, so dass es zu jedem x ∈ K ein i ∈ I mit B_{r}(x) ⊂ U_{i} gibt.

(b) Zu jedem r > 0 gibt es endlich viele x_{1}, …, x_{k} in K mit K ⊂ B_{r}(x_{1})∪…∪B_{r}(x_{k}). Bemerkung: Dies zeigt, dass folgenkompakte Teilmengen metrischer Räume kompakt sind.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum, und sei (M_{k})_{k∈ℕ} eine Familie von Teilmengen von X mit der Eigenschaft M_{k} ∩ M_{k+1} ≠ ∅ für alle k ∈ ℕ. Zeige:

(a) Ist jedes M_{k} wegzusammenhängend, so auch ⋃_{k∈ℕ} M_{k}.

(b) Ist jedes M_{k} zusammenhängend, so auch ⋃_{k∈ℕ} M_{k}.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1}| x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2} = 1} die n–Sphäre. Zeige, dass zu jeder stetigen Funktion f : S^{n} ⟶ ℝ, n ⩾ 1, ein Paar antipodaler Punkte x, −x ∈ S^{n} existiert mit f(x) = f(−x). Beispiel: Zu jeder stetigen Temperaturverteilung auf der Erdoberfläche gibt es antipodale Orte, an denen gleichzeitig dieselbe Temperatur herrscht.

Zusatzaufgabe (Lemma von Riesz) (+ 4 Punkte) Sei (V, ∥ · ∥) ein normierter Vektorraum und U ⊊ V ein abgeschlossener Unterraum.

(i) Für v ∈ V definiere den Abstand von v zu U durch

d(v, U) = inf{ ∥u − v∥ | u ∈ U} .

Zeige, dass d(v, U) > 0, falls v ∉ U.

(ii) Sei δ > 0. Dann existiert ein v ∈ V mit ∥v∥ = 1 und d(v, U) ≥ 1 − δ.

(iii) Sei W ⊂ V ein endlich-dimensionaler Unterraum, d.h. dim W < ∞. Zeige, dass W abgeschlossen ist.

(iv) Die Einheitskugel B = { v ∈ V | ∥v∥ ≤ 1} ist genau dann kompakt, wenn dim V < ∞.