SS 2012 Marinescu / Erat

8. Blatt zur Analysis II Abgabe: 11.–13.06.12 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(i) Es sei f : ℝ^{2} → ℝ definiert durch f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x_{1} x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} & , x ≠ 0 \\ 0 & , x = 0 \end{matrix} .

Zeige, dass f stetig ist und für jedes x ∈ ℝ^{2} und jedes y ∈ ℝ^{2}

lim_{t→0} \frac{f(x + ty) − f(x)}{t} = g(x, y)  (∗)

existiert, aber dass die Abbildung y ↦ g(0, y) nicht linear ist (so dass f im Punkt 0 nicht differenzierbar sein kann). (ii) Es sei f : ℝ^{2} → ℝ definiert durch

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x_{1}^{3} x_{2}}{x_{1}^{4} + x_{2}^{2}} & , x ≠ 0 \\ 0 & , x = 0 \end{matrix} .

Zeige, dass f stetig ist und dass der Limes g(x, y) in (∗) für jedes x ∈ ℝ^{2} und jedes y ∈ ℝ^{2} existiert und dass y ↦ g(x, y) für jedes x ∈ ℝ^{2} linear ist, aber f im Punkt 0 nicht differenzierbar ist.

2. Aufgabe (4 Punkte) Bestimme jeweils die Ableitung der folgenden Abbildungen:

(i) f : ℝ^{n} → ℝ , f(x) = ⟨Ax, x⟩ , wobei A ∈ M_{n×n}(ℝ) und ⟨· , ·⟩ ein Skalarprodukt auf ℝ^{n} ist. (ii) g : ℝ^{n} \ {0} → ℝ^{n} , g(x) = ∥x∥^{λ}x , für ein festes λ ∈ ℝ . Für welche λ läßt sich g zu einer auch in x = 0 differenzierbaren Abbildung fortsetzen? Ist die Fortsetzung sogar in der Klasse C^{1}? (iii) A : ℝ → M_{n×n}(ℝ) , A(t) = (a_{ij}(t))_{1⩽i,j⩽n} , wobei die Koeffizienten a_{ij} : ℝ → ℝ differenzierbar sind. (iv) C : ℝ → M_{n×n}(ℝ) , C(t) = A(t)B(t) , wobei A, B : ℝ → M_{n×n}(ℝ) differenzierbar sind. Nehme an, B(t) sei invertierbar für jedes t ∈ ℝ. Zeige für A(t) = B(t)^{−1}, daß

\frac{d}{dt} (A(t)^{−1}) = −A(t)^{−1} · \frac{dA}{dt}(t) · A(t)^{−1} .

(bitte wenden)

3. Aufgabe (4 Punkte)

(i) Sei k ∈ ℕ. Zeige, daß f_{k} : M_{n×n}(ℝ) ⟶ M_{n×n}(ℝ) , f_{k}(A) = A^{k}, eine

C^{1}–Abbildung ist und df_{k}(A) · B = ∑_{j=0}^{k−1} A^{j}BA^{k−1−j}.

(ii) Zeige, daß die Abbildung exp : M_{n×n}(ℝ) → M_{n×n}(ℝ) , exp(A) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}A^{k} , von der Klasse C^{1} ist, und berechne d exp(0) .

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei f : ℝ^{n} \ {0} → ℝ differenzierbar und homogen vom Grad α ∈ ℝ, d.h. für alle t > 0 und alle x ∈ ℝ^{n} \ {0} gilt f(tx) = t^{α}f(x). Zeige:

(a) df(tx) = t^{α−1}df(x) für alle t > 0, x ∈ ℝ^{n} \ {0}.

(b) df(x) · x = αf(x) für alle x ∈ ℝ^{n} \ {0}. (Eulersche Identität)