SS 2012 Marinescu / Erat

9. Blatt zur Analysis II Abgabe: 18.–20.06.12 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei End(ℝ^{n}) der Raum der linearen Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{n}. Sei Aut(ℝ^{n}) die Menge der invertierbaren Elemente in End(ℝ^{n}). Die Operatornorm ist definiert als ∥T ∥ = sup{∥T v∥ | ∥v∥ ⩽ 1}.

(a) Sei T ∈ End(ℝ^{n}). Zeige, dass Id −T invertierbar ist, falls ∥T ∥ < 1, und die Umkehrabbildung durch die konvergente Reihe ∑_{n=0}^{∞} T^{n} dargestellt wird.

(b) Seien T ∈ End(ℝ^{n}) und T_{0} ∈ Aut(ℝ^{n}). Zeige, dass ∥T T_{0}^{−1} − Id ∥ < 1, falls ∥T − T_{0}∥ < 1/∥T_{0}^{−1}∥. Folgere, dass die offene Kugel in End(ℝ^{n}) mit Mittelpunkt T_{0} und Radius 1/∥T_{0}^{−1}∥ nur aus invertierbaren Elementen besteht.

(c) Seien T, S ∈ Aut(ℝ^{n}). Zeige, dass T^{−1} − S^{−1} = T^{−1}(S − T)S^{−1} und dass die Abbildung φ : Aut(ℝ^{n}) → Aut(ℝ^{n}), T ↦ T^{−1}, stetig ist.

(d) Zeige, dass φ stetig differenzierbar ist und seine Ableitung durch dφ(T) · H = −T^{−1} · H · T^{−1} für alle T ∈ Aut(ℝ^{n}), H ∈ End(ℝ^{n}) gegeben ist.

2. Aufgabe (4 Punkte) Zeige für f : ℝ^{2} → ℝ definiert durch f(0, 0) = 0 und

f(x, y) = xy \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} für (x, y) ≠ (0, 0) ,

(a) ∂_{1}f und ∂_{2}f existieren in jedem Punkt des ℝ^{2} (auch im Nullpunkt) und sind stetig; insbesondere ist f differenzierbar;

(b) ∂_{12}f(0, 0) und ∂_{21}f(0, 0) existieren, sind aber nicht gleich.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Der Laplace-Operator Δ : C^{2}(U, ℝ) → C^{0}(U, ℝ) ist definiert durch Δf := ∂_{11}f + … + ∂_{nn}f. Wir betrachten nun U := ℝ^{n} \ {0} und die Funktion r : U ∋ x ↦ ∥x∥_{2} = \sqrt{⟨x, x⟩} ∈ ℝ.

(a) Berechne die Gradienten grad(r^{2−n})(x) und grad(log r)(x).

(b) Zeige: Δ(r^{2−n}) = 0; im Falle n = 2 gilt Δ(log r) = 0.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei f ∈ C^{2}(ℝ^{2}, ℝ) und P : ℝ_{+} × ℝ ∋ (r, ϕ) ↦ (r cos ϕ, r sin ϕ) ∈ ℝ^{2} die Polarkoordinatenabbildung. Zeige, dass mit F := f ∘ P ∈ C^{2}(ℝ_{+} × ℝ, ℝ) gilt:

(\frac{∂^{2}}{∂r^{2}} F + \frac{1}{r^{2}} · \frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}} F + \frac{1}{r} · \frac{∂}{∂r}F )(r, ϕ) = (Δf)(P (r, ϕ)) .