SS 2012 Marinescu / Erat

10. Blatt zur Analysis II Abgabe: 25.–27.06.12 in den Übungen

Hinweis: Für die Klausurzulassung müssen mindestens 60 Punkte aus den Übungsblättern 1–10 erreicht werden.

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei k ∈ ℕ. Wir betrachten die Abbildung ℂ ∋ z ↦ z^{k} ∈ ℂ sowie die zugehörige Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, die sich daraus nach der üblichen Identifikation von ℂ mit ℝ^{2} ergibt; diese ist ein ℝ^{2}–wertiges Polynom, insbesondere f ∈ C^{∞}(ℝ^{2}, ℝ^{2}).

(a) Sei P die Polarkoordinatenabbildung und F := f ∘ P. Berechne F (r, ϕ).

(b) Zeige Δf_{i} = 0 für i = 1, 2.

Hinweis: Zusatzaufgabe Blatt 9; Vorsicht, P nicht surjektiv.

2. Aufgabe (4 Punkte) Berechne für f : ℝ_{+} × ℝ ∋ (x, y) ↦ x^{y} ∈ ℝ alle partiellen Ableitungen ∂_{j_{1}j_{2}j_{3}}f(x, y) dritter Ordnung. Stelle dann das Taylorpolynom dritten Grades zu f mit Entwicklungspunkt (1, 1) auf.

3. Aufgabe (4 Punkte) Bestimme die kritischen Punkte und die lokalen Extrema der folgenden Funktionen ℝ^{2} → ℝ: (a) f(x, y) = x^{3} + y^{3} − 3xy, (b) g(x, y) = cos x · cosh y.

Zusatzaufgabe (+ 6 Punkte) Sei D ⊂ ℝ^{n} eine offene Menge und F = (F_{1}, …, F_{n}) : D → ℝ^{n} ein differenzierbares Vektorfeld. Die Funktion

div F := ∑_{i=1}^{n} \frac{∂F_{i}}{∂x_{i}}

heißt Divergenz des Vektorfeldes F.

(a) Sei u : D → ℝ differenzierbar. Zeige, dass

div(uF) = ⟨grad u, F ⟩ + u div F .

Berechne div(x/∥x∥) für x ∈ ℝ^{n} \ {0}.

(b) Seien f, g : D → ℝ zweimal stetig differenzierbar. Zeige:

Δf = div grad f  ,  Δ(fg) = fΔg + gΔf + 2⟨grad f, grad g⟩ .

(c) Sei h : ℝ_{+} → ℝ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass

Δh(∥x∥) = h′′(∥x∥) + \frac{n − 1}{∥x∥}h′(∥x∥) , x ∈ ℝ^{n} \ \{0\} .