SS 2012 Marinescu / Erat

11. Blatt zur Analysis II (wird in den Übungen besprochen)

1. Aufgabe Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann gilt: Ist X zusammenhängend, so ist auch f(X) zusammenhängend.

2. Aufgabe Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen heißt gleichmäßig stetig : ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : d_{X}(x, y) < δ ⇒ d_{Y} (f(x), f(y)) < ε .

Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen. Dann gilt: Ist X kompakt, so ist f gleichmäßig stetig.

3. Aufgabe Beweise, dass die Potenzreihe

∑_{n=0}^{∞} \binom{n + k}{n}x^{n}

für alle k ∈ ℕ_{0} den Konvergenzradius 1 hat, und für |x| < 1 gilt

∑_{n=0}^{∞} \binom{n + k}{n}x^{n} = \frac{1}{(1 − x)^{k+1}} .

4. Aufgabe Betrachte f_{n} : [0, ∞) → ℝ, f_{n}(x) = \sqrt[n]{x}. Konvergiert f_{n} gleichmäßig auf

(a) [0, ∞) ? (b) [1, ∞) ? (c) [a, b] ⊂ (0, ∞) ?

(bitte wenden)

5. Aufgabe Wir betrachten die Funktion f : ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ x^{2} − xy + 4y^{2} ∈ ℝ und das Innere E := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + 4y^{2} < 1} einer Ellipse.

(a) Bestimme die lokalen Extrema von f auf E.

(b) Parametrisiere den Rand von E durch eine Kurve c und bestimme die lokalen Extrema von f|_{∂E} durch Betrachtung derer von f ∘ c.

(c) Wo nimmt f auf der abgeschlossenen Ellipse \overline{E} sein Minimum und Maximum an? Hat f|\overline{E} noch andere lokale Extrema als diese?

6. Aufgabe Sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} definiert durch f(x, y) := (2e^{x} − x^{2}, e^{y} + (x^{2} + 1)y). Zeige:

(a) f ist bijektiv.

(b) f ist ein C^{∞}–Diffeomorphismus. Was ist d(f^{−1})(2, 1) ?

7. Aufgabe Sei U = { (r, θ, φ) ∈ ℝ^{3} | r > 0 } und

P : U ⟶ ℝ^{3} , P (r, θ, φ) = (r cos θ cos φ, r sin θ cos φ, r sin φ) .

(a) Zeige, dass P stetig differenzierbar ist, und bestimme die Menge der Punkte, in denen P lokal invertierbar ist.

(b) Bestimme die Ableitung einer lokalen Umkehrabbildung von P.

(c) Zeige, dass P auf U_{0} = (0, ∞) × (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) × (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) invertierbar ist, und bestimme die Umkehrabbildung. Bilde die Ableitung der Umkehrabbildung und verifiziere das Ergebnis aus (b).

8. Aufgabe Sei f : ℂ → ℂ, f(z) = z^{2} + i/4. Finde eine Kreisscheibe, auf der f kontrahierend ist. Sei z_{1} = 0 und z_{n+1} = f(z_{n}). Untersuche, ob die Folge (z_{n}) konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.