WS 08/09 Marinescu / Erat

1. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 27.10.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei U := {x ∈ ℝ^{n} | ∥x∥ < 1} = B_{1}(0), und f : U → ℝ^{n} sei definiert durch f(x) := x/(1 − ⟨x, x⟩). Zeige, daß f ein C^{∞}–Diffeomorphismus ist. (Tip: Leicht für f|_{B_{1}(0)\{0}}; Umkehrsatz nahe 0.)

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei f : (\frac{π}{2} , \frac{5π}{2}) → ℝ^{2} , f(t) = (cos t, sin 2t) . Zeige:

(a) f ist eine injektive Immersion.

(b) f ist keine Einbettung.

(c) Im(f) = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y^{2} − 4x^{2} + 4x^{4} = 0}.

(d) Im(f) ist keine Untermannigfaltigkeit des ℝ^{2}, aber Im(f) \ {(0, 0)} ist eine Untermannigfaltigkeit des ℝ^{2}.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} − 2x^{2} + 2y^{2}. Bestimme die regulären und kritischen Werten von f. Skizziere die Niveaumengen f^{−1}(c) für c ∈ ℝ. Welche topologische Eigenschaft von f^{−1}(c) ändert sich, wenn c einen kritischen Wert durchläuft?

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Die Kugelkoordinatenabbildung des ℝ^{3} ist definiert durch P : ℝ_{+} × ℝ × ℝ ∋ (r, ϕ, ψ) ↦ (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ) ∈ ℝ^{3}.

(a) Skizziere die folgenden Kurven:

(i) [0, 2π] ∋ ϕ ↦ P (1, ϕ, ψ) für ein festes ψ ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2}), (ii) [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2}] ∋ ψ ↦ P (1, ϕ, ψ) für ein festes ϕ ∈ [0, 2π].

(b) Wir fassen nun die Einheitssphäre S^{2} als die Erdoberfläche mit Nordpol (0, 0, 1) und Nullmeridian \{(x, 0, z) ∈ S^{2} | x ⩾ 0\} auf. Seien ϕ ∈ (−π, π] und ψ ∈ [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2}]. Was ist dann die geographische Länge bzw. Breite des Punktes P (1, ϕ, ψ) ?

(c) Berechne die Jacobimatrix J_{P} (r, ϕ, ψ). Für welche Punkte (r, ϕ, ψ) ist ihr Rang maximal? Welche anderen Werte nimmt der Rang an und in welchen Punkten? Wo liegen die zugehörigen Bildpunkte? (Tip: Die Spalten der Matrix sind orthogonal.)

(d) Zeige, daß P : ℝ_{+} × (0, 2π) × (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) → ℝ^{3} \ \{(x, 0, z) : x ⩾ 0\} ein C^{∞}– Diffeomorphismus ist.