WS 08/09 Marinescu / Erat

2. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 03.11.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei r > 0. Zeige, daß ψ : (0, 2π) × (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) ∋ (ϕ, θ) ↦ (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ) ∈ ℝ^{3}

eine (lokale) Parametrisierung der 2-Sphäre S_{r}^{2} = \{(x, y, z) : \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = r\} vom Radius r in ℝ^{3} ist.

(b) Zeige, daß der Zylinder Z = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = 1} eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3} ist. Gebe lokale Parametrisierungen an, die den Zylinder überdecken.

(c) Beweise, daß das Katenoid M = {(cosh u cos v, cosh u sin v, u) ∈ ℝ^{3} : (u, v) ∈ ℝ^{2}} eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3} ist. Stelle das Katenoid als Lösungsmenge einer unabhängigen Gleichung dar.

(d) Sei f : ℝ → ℝ_{+} eine C^{∞}–Funktion. Beweise, daß die Rotationsfläche M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = f(z)^{2}} eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3} ist.

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, daß der Kegel K = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = z^{2}} keine Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3} ist aber K \ {0} eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3}.

(b) Zeige, daß die Neilsche Parabel P = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{3} = y^{2}} keine Untermannigfaltigkeit des ℝ^{2} ist.

3. Aufgabe (4 Punkte) Seien M_{1} ⊂ ℝ^{N_{1}} und M_{2} ⊂ ℝ^{N_{2}} Untermannigfaltigkeiten von Dimension n_{1} bzw. n_{2}. Seien {(U_{i}, φ_{i}) : i ∈ I} und {(V_{j}, ψ_{j}) : j ∈ J} Atlanten für M_{1} bzw. M_{2}. Zeige, daß M_{1} × M_{2} ⊂ ℝ^{N_{1}+N_{2}} eine (n_{1} + n_{2})-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{N_{1}+N_{2}} und {(U_{i} × V_{j}, φ_{i} × ψ_{j}) : i ∈ I , j ∈ J} ein Atlas für M_{1} × M_{2} ist. (Für φ_{i} : U_{i} → ℝ^{n_{1}}, ψ_{j} : V_{j} → ℝ^{n_{2}} ist φ_{j} × ψ_{j} : U_{i} × V_{j} → ℝ^{n_{1}+n_{2}} definiert durch (φ_{i} × ψ_{j})(x, y) = (φ_{i}(x), ψ_{j}(y)).)

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Zeige, daß die stereographischen Projektionen einen Atlas auf S^{n} bilden, und berechne den Kartenübergang.