WS 08/09 Marinescu / Erat

3. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 10.11.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Bestimme den Tangentialraum und den Normalenraum an einen beliebigen Punkt des Zylinders und des Katenoids.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei f : ℝ → ℝ_{+} eine glatte positive Funktion, und seien

M_{f} := { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = f(z)^{2} }

eine durch f definierte Rotationsfläche und Z := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = 1} ein Zylinder. Sei F : M_{f} → Z die Abbildung

F (x, y, z) = (−\frac{1}{f(z)} y , \frac{1}{f(z)} x , z + 1) .

(a) Was bedeutet diese Abbildung geometrisch?

(b) Zeige, daß F ein Diffeomorphismus zwischen den Flächen M_{f} und Z ist, d.h. F : M_{f} → Z ist bijektiv, F und F^{−1} sind glatt.

(c) Sei p = (x, y, z) ∈ M_{f}. Zeige, daß v = (−y, x, 0) ∈ ℝ^{3} ein Tangentialvektor an M_{f} im Punkt p ist, und bestimme den Bildvektor dF (p) · v ∈ T_{F (p)}Z.

(d) Veranschauliche v und dF (p) · v in einer Skizze.

3. Aufgabe (4 Punkte) Es sei S^{2} die 2–dimensionale Sphäre vom Radius 1 im ℝ^{3}. Betrachte die Abbildungen X, Y : S^{2} → ℝ^{3},

X(x, y, z) = (−y, x, 0) , Y (x, y, z) = (−z, 0, x) .

(a) Zeige, daß X und Y glatte Vektorfelder auf S^{2} sind. Skizziere diese Vektorfelder.

(b) Gebe die Komponenten von X und Y bzgl. der durch die sphärischen Koordinaten (Blatt 2, 1(a)) gegebenen kanonischen Basis an.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei P : ℂ → ℂ, P (z) = a_{n}z^{n} + … + a_{1}z + a_{0} , wobei n ∈ ℕ, a_{n} ≠ 0. Identifiziere ℂ ≅ ℝ^{2} und betrachte die stereographische Projektion p_{N} : S^{2} \ {N} → ℂ. Definiere

f : S^{2} → S^{2} , f(x) = \{ \begin{matrix}p_{N}^{−1} ∘ P ∘ p_{N}(x) & , x ≠ N \\ N & , x = N \end{matrix} .

Zeige, daß f ∈ C^{∞}(S^{2}, S^{2}).