WS 08/09 Marinescu / Erat

4. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 17.11.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Seien M eine Untermannigfaltigkeit des ℝ^{N} und F : ℝ^{N} → ℝ glatt. Sei f = F |_{M} : M → ℝ. Zeige, daß grad f(x) die orthogonale Projektion von grad F (x) auf T_{x}M ist.

(b) Sei f : S^{2} → ℝ, f(x) = x_{3}, die Höhenfunktion auf der Sphäre S^{2}. Berechne grad f (z.B. mit Hilfe von (a)).

2. Aufgabe (4 Punkte) Es bezeichne p_{N} : S^{n} \{N} → ℝ^{n} die stereographische Projektion aus dem Nordpol.

(a) Sei v ∈ T_{x}S^{n}, wobei x ≠ N. Vergleiche die Länge des Vektors v im Euklidischen Vektorraum (T_{x}S^{n}, g_{x}) mit der Länge des Bildvektors dp_{N}(x) · v im Euklidischen Vektorraum (ℝ^{n}, ⟨·, ·⟩).

(b) Seien v, w ∈ T_{x}S^{n}, wobei x ≠ N. Vergleiche den Winkel zwischen v, w in (T_{x}S^{n}, g_{x}) mit dem Winkel der Bildvektoren dp_{N}(x)·v, dp_{N}(x)·w in (ℝ^{n}, ⟨·, ·⟩).

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Es sei X : S^{2} → ℝ^{3} das Vektorfeld X(x, y, z) = (−y, x, 0). Zeige, daß es keine glatte Funktion f : S^{2} → ℝ gibt, so daß X = grad f.

(b) Gebe den Gradienten einer Funktion f ∈ C^{∞}(S^{n}) in der durch die stereographische Projektion gegebenen Karte (S^{n} \ {N}, p_{N}) an.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei f : S^{1} → S^{1}, f(e^{it}) = e^{ikt}, wobei k ∈ ℕ. Zeige, daß für jedes y ∈ S^{1} gilt: |f^{−1}(y)| = k. Sei f^{−1}(y) = {x_{1}, …, x_{k}}. Konstruiere explizit paarweise disjunkte Umgebungen U_{x_{1}}, …, U_{x_{k}} von x_{1}, …, x_{k} und eine Umgebung V von y, so daß f|_{U_{x_{j}}} : U_{x_{j}} → V ein Diffeomorhismus ist für jedes j ∈ {1, …, k}.

Hinweis: Die Fachschaft möchte Euch zu der Adventsparty am 28.11. ab 20 Uhr in den S^{2} des Mathematischen Instituts einladen. Wie immer mit lecker Kölsch, Glühwein und Musik. Wir freuen uns auf Euch! Eure Fachschaft