WS 08/09 Marinescu / Erat

5. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 24.11.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Seien U ⊂ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ glatt. Zeige, daß D = { (x, x_{n+1}) ∈ U × ℝ | x_{n+1} − f(x) ≤ 0 } eine glatt berandete Teilmenge von M = U × ℝ ist, und berechne das äußere Einheitsnormalenfeld.

(b) Sei M = { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | y^{2} + z^{2} = 2 } und D = { (x, y, z) ∈ M | x^{2} + y^{2} ≤ 1 }. Zeige, daß D eine glatt berandete Teilmenge von M ist, und berechne das äußere Einheitsnormalenfeld ν. Berechne T_{(x,y,z)}∂D mit Hilfe einer Parametrisierung von ∂D und überprüfe, ob ν(x, y, z) ⊥ T_{(x,y,z)}∂D.

2. Aufgabe (4 Punkte) Die Viviani–Fläche D ist der Durchschnitt des Vollzylinders Z = { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x − \frac{R}{2})^{2}+y^{2} ≤ (\frac{R}{2})^{2} \} mit der Sphäre S_{R}^{2} = \{ (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2} \}. Finde die regulären und singulären Punkte von ∂D und berechne das äußere Einheitsnormalenfeld.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei V ein ℝ–Vektorraum, dim V = n. Sei {e_{1}, …, e_{n}} eine Basis und ω = e_{1}^{∗}∧…∧e_{n}^{∗}. Für v ∈ V definiere v ⌟ ω ∈ Λ^{n−1}V^{∗} durch v ⌟ ω(v_{1}, …, v_{n−1}) := ω(v, v_{1}, …, v_{n−1}) (inneres Produkt von ω mit dem Vektor v, man schreib auch i_{v}ω = v ⌟ ω).

(a) Zeige, daß für v ∈ V gilt

v ⌟ ω = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{j+1}v_{j} e_{1}^{∗} ∧ … ∧ ê_{j}^{∗} ∧ … ∧ e_{n}^{∗}

und die Abbildungen V ⟶ Λ^{n−1}V^{∗}, v ↦ v ⌟ ω, ein Isomorphismus ist.

(b) Nehmen wir an, daß {e_{1}, …, e_{n}} Orthonormalbasis für ein Skalarprodukt ist. Zeige, daß V ⟶ Λ^{1}V^{∗}, u ↦ ω^{u} = ⟨u, ·⟩, ein Isomorphismus ist, und es gilt ω^{u} ∧ (v ⌟ ω) = ⟨u, v⟩ω, insbesondere ω^{v} ∧ (v ⌟ ω) = ∥v∥^{2}ω.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei M ⊂ ℝ^{N} eine Untermannigfaltigkeit.

(a) Seien A, B ⊂ M, wobei A abgeschlossen, B kompakt und A ∩ B = ∅. Zeige, daß es f ∈ C^{∞}(M) gibt mit kompaktem Träger, so daß f|_{A} = 0 und f|_{B} = 1.

(b) Sei f ∈ C^{∞}(M, ℝ^{k}). Zeige, daß es eine offene Menge W ⊃ M in ℝ^{N} und F ∈ C^{∞}(W, ℝ^{k}), so daß F |_{M} = f. Falls M abgeschlossen ist, zeige, daß W = ℝ^{N} gewählt werden kann.