WS 08/09 Marinescu / Erat

6. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 01.12.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (5 Punkte) Sei V ein orientierter Skalarproduktraum, dim V = n. Sei ω_{V} das Volumenelement. Für ein (n − 1)-Tupel (v_{1}, …, v_{n−1}) aus V (n ⩾ 2) definieren wir das Vektorprodukt v_{1}×…×v_{n−1} als der einzige Vektor v ∈ V so, daß ⟨v, u⟩ = ω_{V} (u, v_{1}, …, v_{n−1}) für alle u ∈ V. Beweise die folgenden Eigenschaften des Vektorproduktes v = v_{1}×…×v_{n−1}:

(i) v_{σ(1)} × … × v_{σ(n−1)} = ε(σ)v für alle σ ∈ S_{n−1}. (ii) ⟨v, v_{i}⟩ = 0 für alle 1 ⩽ i ⩽ n − 1. (iii) v ≠ 0 genau dann, wenn v_{1}, …, v_{n−1} linear unabhängig sind. In diesem Fall ist (v, v_{1}, …, v_{n−1}) eine positiv orientierte Basis. (iv) ∥v∥^{2} = G(v_{1}, …, v_{n−1}) = det(⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{1⩽i,j⩽n−1}.

(v) Sei e = (e_{1}, …, e_{n}) eine Orthonormalbasis. Dann gilt

v = ε(e) det (\begin{matrix}e_{1} & ⟨v_{1}, e_{1}⟩ & … & ⟨v_{n−1}, e_{1}⟩ \\ … & … & … & … \\ e_{n} & ⟨v_{1}, e_{n}⟩ & … & ⟨v_{n−1}, e_{n}⟩ \end{matrix}) ,

wobei ε(e) das Vorzeichen der Basis e ist.

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei ω eine 2–Form auf ℝ^{3} \ {0} gegeben durch

ω(x, y, z) = \frac{1}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}} (x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy) .

Berechne P^{∗}ω, wobei P die Kugelkoordinatenabbildung ist.

(b) Berechne das äußere Differential folgender Formen in ℝ^{3}:

\begin{aligned}ω_{1} & = e^{x} cos y dx − e^{x} sin y dy \\ ω_{2} & = xy dx ∧ dy + 2x dy ∧ dz + 2y dx ∧ dz \\ ω_{3} & = z dx ∧ dy + x dy ∧ dz + y dx ∧ dz \end{aligned}

(bitte wenden)

3. Aufgabe (3 Punkte)

(a) Sei ω = f dx + g dy ∈ Ω^{1}(ℝ^{2}) eine geschlossene 1–Form auf ℝ^{2}. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung dα = ω, wobei α ∈ C^{∞}(ℝ^{2}).

(b) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung dη = y dx ∧ dy, wobei η ∈ Ω^{1}(ℝ^{2}).

(c) Sei ω ∈ Ω^{1}(ℝ^{2} \ {0}) die 1–Form

ω = \frac{x dy − y dx}{x^{2} + y^{2}} .

Beweise, daß ω geschlossen aber nicht exakt ist auf ℝ^{2} \ {0}. Gebe eine (möglichst große) offene Teilmenge U ⊂ ℝ^{2} \ {0} an, auf der ω exakt ist.

Zusatzaufgabe (+ 2 Punkte) Das Möbiusband M ⊂ ℝ^{3} ist definiert als Bild der Funktion f : (−1, 1) × ℝ ⟶ ℝ^{3}, f(t, ϑ) = (2 cos ϑ + t cos \frac{ϑ}{2} cos ϑ, 2 sin ϑ + t cos \frac{ϑ}{2} sin ϑ, t sin \frac{ϑ}{2}). Zeige, daß M nicht orientierbar ist.