WS 08/09 Marinescu / Erat

7. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 08.12.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Zeige: Eine Untermannigfaltigkeit M^{n} ⊂ ℝ^{n+1} ist genau dann orientierbar, wenn auf M ein glattes Einheitsnormalenfeld existiert, d.h. eine glatte Abbildung ν : M → ℝ^{n+1} mit ν(x) ∈ N_{x}M und ∥ν(x)∥ = 1 für alle x ∈ M. Tip: Für eine positiv orientierte Karte (U, φ = (x_{1}, …, x_{n})) setze ν(x) = \frac{\frac{∂}{∂x_{1}} ×···× \frac{∂}{∂x_{n}}}{∥ \frac{∂}{∂x_{1}} ×···× \frac{∂}{∂x_{n}} ∥} .

2. Aufgabe (4 Punkte) Zeige, daß folgende Untermannigfaltigkeiten orientierbar sind. Wähle eine Orientierung und berechne jeweils eine lokale Darstellung der Volumenform.

(a) Bizylinderkurve C = { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = 1 , y^{2} + z^{2} = 2 }.

(b) Rotationsfläche R_{f} = { (f(z) cos φ, f(z) sin φ, z) ∈ ℝ^{3} | (φ, z) ∈ ℝ × (a, b) }, wobei f ∈ C^{∞}((a, b)) und f > 0.

(c) Wendelfläche W = { (r cos φ, r sin φ, φ) ∈ ℝ^{3} | (φ, r) ∈ ℝ^{2} }.

(d) Graph einer Funktion f ∈ C^{∞}(ℝ^{2}) : G_{f} = { (u, v, f(u, v)) ∈ ℝ^{3} | (u, v) ∈ ℝ^{2} }.

3. Aufgabe (4 Punkte) Seien U ⊂ ℝ^{3} eine offene Menge, f ∈ C^{∞}(U) eine Funktion und F ∈ C^{∞}(U, ℝ^{3}) ein Vektorfeld.

(a) Zeige, daß rot(grad f) = 0 und div(rot F) = 0.

(b) Wir nehmen an, daß U sternförmig ist. Zeige:

(i) Zu jedem Vektorfeld F ∈ C^{∞}(U, ℝ^{3}) mit rot F = 0 existiert ein Potential h : U → ℝ mit grad h = F.

(ii) Zu jedem Vektorfeld F ∈ C^{∞}(U, ℝ^{3}) mit div F = 0 existiert ein Vektorfeld G ∈ C^{∞}(U, ℝ^{3}) mit rot G = F .

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 5 Punkte) Sei U ⊂ ℝ^{3} eine offene Menge. Es sei E = E(x, t) : U × ℝ ⟶ ℝ^{3} das elektrische Feld und H = H(x, t) : U × ℝ ⟶ ℝ^{3} das magnetische Feld. Dabei bezeichnen wir die Punkte des ℝ^{3} mit x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) und mit t ∈ ℝ die Zeit. Die Operationen der Divergenz und Rotation auf die räumlichen Koordinaten x ∈ ℝ^{3} der zeitabhängigen Vektorfelder bezeichnen wir mit div_{x} bzw. rot_{x}. Im Vakuum lauten die ersten Maxwellschen Gleichungen (bei geeigneter Normierung):

rot_{x} E = −\frac{∂H}{∂t} , div_{x} H = 0 .

Wir definieren folgende 2–Form in ℝ^{4}:

Ω = ∑_{j=1}^{3} E_{j}(x, t) dx_{j} ∧ dt + H(x, t) ⌟ ω_{ℝ^{3}} , wobei ω_{ℝ^{3}} = dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3} .

(a) Zeige, daß die Maxwellschen Gleichungen äquivalent zu dΩ = 0 sind.

(b) Sei V ⊂ U × ℝ ein sternförmiges Gebiet. Zeige, daß es ein magnetisches Vektorpotential A = A(x, t) ∈ C^{∞}(V, ℝ^{3}) und ein skalares Potential a = a(x, t) ∈ C^{∞}(V, ℝ) gibt mit

rot_{x} A = H , grad_{x} a − \frac{∂A}{∂t} = E .  (∗)

(c) Sei (a_{0}, A_{0}) eine Lösung von (∗). Zeige, daß alle andere Lösungen von der Form (a_{0} + \frac{∂φ}{∂t}, A_{0} + grad_{x} φ) sind, mit einer Funktion φ : V → ℝ (Freiheit der Eichung).

(d) Nehmen wir an, daß die Eichbedingung \frac{∂a}{∂t} = div_{x} A gilt. Zeige, daß A der Wellengleichung \frac{∂^{2}A}{∂t^{2}} − Δ_{x}A = 0 genügt. Dabei wirken die Differentialoperatoren komponentenweise. (Tip: Zeige zuerst, daß rot_{x} rot_{x} A + Δ_{x}A = grad_{x} div_{x} A, und nutze dabei eine weitere Maxwellsche Gleichung: rot_{x} H = \frac{∂E}{∂t}.)

(e) Sei (a_{0}, A_{0}) eine Lösung der Gleichung (∗) und φ : V ⟶ ℝ eine Lösung von \frac{∂^{2}φ}{∂t^{2}} − Δ_{x}φ = −\frac{∂a_{0}}{∂t} + div_{x} A_{0}. Beweise, daß (a, A) = (a_{0} + \frac{∂φ}{∂t}, A_{0} + grad_{x} φ) die Eichbedingung erfüllt.