WS 08/09 Marinescu / Erat

8. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 15.12.2008 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Seien U ⊂ ℝ^{2} offen, f ∈ C^{2}(U, ℝ) und P : ℝ_{+}× ℝ ∋ (r, ϕ) ↦ (r cos ϕ, r sin ϕ) ∈ ℝ^{2} die Polarkoordinatenabbildung.

(a) Zeige, daß für F := f ∘ P ∈ C^{2}(P^{−1}(U), ℝ) gilt:

(\frac{∂^{2}}{∂r^{2}} F + \frac{1}{r^{2}} · \frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}} F + \frac{1}{r} · \frac{∂}{∂r}F )(r, ϕ) = (Δf)(P (r, ϕ)) .

(b) Zeige Δ(log ∥x∥_{2}) = 0 für alle x ∈ ℝ^{2} \ \{0\}, wobei ∥x∥_{2} = \sqrt{⟨x, x⟩}, und Δ(Re z^{k}) = Δ(Im z^{k}) = 0 für alle z = x_{1} + ix_{2} ∈ ℂ, k ∈ ℕ.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei γ : [a, b] ⟶ ℝ^{2} ∖ {0} eine glatte Kurve.

(a) Zeige, daß es glatte Funktionen r, ϑ : [a, b] ⟶ ℝ gibt, mit

γ(t) = (r(t) cos ϑ(t), r(t) sin ϑ(t)) .

Anleitung: Sei r(t) = ∥γ(t)∥. Wähle ϑ_{a} ∈ ℝ mit γ(a) = (r(a) cos ϑ_{a}, r(a) sin ϑ_{a}) und definiere

ϑ(t) = ϑ_{a} + ∫_{a}^{t} \frac{−y(s)x′(s) + x(s)y′(s)}{r(s)^{2}} ds .

(b) Zeige, daß ϑ(b) − ϑ(a) = ∫_{γ} ω, wobei ω die Windungsform ist. Die Zahl

W (γ, 0) = \frac{1}{2π} ∫_{γ} ω

heißt die Windungszahl von γ um 0.

(c) Zeige, daß W (γ, 0) ∈ ℤ, wenn γ geschlossen ist (γ(a) = γ(b)).

(d) Berechne W (γ, 0) für γ : [0, 1] ⟶ ℝ^{2}, γ(t) = ( cos(2nπt), sin(2nπt)).

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei B(ℝ^{n}) die σ-Algebra der Borelmengen des ℝ^{n}. F(ℝ^{n}) bezeichne die abgeschlossenen Mengen der ℝ^{n}, K(ℝ^{n}) die kompakten Mengen des ℝ^{n} und Q_{n} die Menge der Quader im ℝ^{n}. Beweise, daß B(ℝ^{n}) = A_{σ}(F(ℝ^{n})) = A_{σ}(K(ℝ^{n})) = A_{σ}(Q_{n}).

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei (X, A, μ) ein Maßraum und

(∗) A^{μ} := { E ⊂ X | ∃A ∈ A, ∃N ⊂ N_{0} ∈ A mit μ(N_{0}) = 0, so daß E = A ∪ N }

Zeige: (a) Die Abbildung \overline{μ} : A^{μ} → [0, ∞], \overline{μ}(E) := μ(A), mit E = A ∪ N wie in (∗) ist wohldefiniert.

(b) E ∈ A^{μ} ⟺ ∃ E_{1}, E_{2} ∈ A mit E_{1} ⊂ E ⊂ E_{2} und μ(E_{2} \ E_{1}) = 0.