WS 08/09 Marinescu / Erat

9. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 12.01.2009 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Seien f : X → Y eine Abbildung, A eine σ–Algebra auf X und B eine σ–Algebra auf Y. Zeige:

(a) f_{∗} A = { B ⊂ Y | f^{−1}(B) ∈ A } ist eine σ–Algebra auf Y .

(b) f^{−1} B = { f^{−1}(B) | B ∈ B } ist eine σ–Algebra auf X .

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Seien X, Y Mengen, E ⊂ P(Y) und f : X → Y eine Abbildung. Dann gilt: A_{σ}(f^{−1}(E)) = f^{−1}A_{σ}(E).

(b) Sei A ⊂ ℝ^{n} Lebesgue–meßbar und x ∈ ℝ^{n}. Beweise: A + x = { a + x | a ∈ A } ist Lebesgue–meßbar und λ_{n}(A) = λ_{n}(A + x). (D.h. das Lebesgue–Maß ist translationsinvariant.)

3. Aufgabe (4 Punkte) Beweise: Jede p–dimensionale Untermannigfaltigkeit in ℝ^{n} (p < n) ist eine Nullmenge.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Eine monoton wachsende, linksseitig stetige Funktion F : ℝ → ℝ heißt Verteilungsfunktion, falls lim_{x→−∞} F (x) = 0 , lim_{x→∞} F (x) = 1 . Sei λ_{F} das durch F definierte Lebesgue-Stieltjes–Maß. Zeige:

(a) Für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf B(ℝ) ist F_{μ} : ℝ → ℝ, F_{μ}(x) = μ((−∞, x)) eine Verteilungsfunktion, und es gilt λ_{F_{μ}}|_{B(ℝ)} = μ.

(b) Umgekehrt ist für jede Verteilungsfunktion F das Maß μ = λ_{F} |_{B(ℝ)} ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit F_{μ} = F.