WS 08/09 Marinescu / Erat

10. Blatt zur Vorlesung Analysis III Abgabe: 19.01.2009 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) (Mengen vom Cantorschen Typ) Ausgehend vom kompakten Intervall I = [0, 1] nehmen wir nacheinander offene Intervalle heraus. Zunächst wird ein in der Mitte gelegenes offenes Teilintervall I_{11} herausgenommen, dann aus jedem der beiden Reste ein Mittelstück I_{21} bzw. I_{22}, darauf aus jedem der verbleibenen vier Reste ein Mittelstück I_{31}, I_{32}, I_{33}, I_{34} usw. Die Vereinigung G aller I_{ij}, i = 1, 2, …, j = 1, 2, …, 2^{i−1}, ist offen. Die kompakte Restmenge C = I \ G wird als Menge vom Cantorschen Typ bezeichnet. Sei 0 < α ≤ 1/3. Wählt man λ_{1}(I_{ij}) = α^{i} für j = 1, 2, …, 2^{i−1}, so bezeichnet man mit G_{α} und C_{α} die erhaltenen Mengen. Setzt man α = 1/3, so spricht man von der Cantorschen Menge.

(a) Zeige, daß die Mengen C_{α} nirgends dicht sind (d.h. jedes Intervall ein zu C_{α} disjunktes Intervall enthält).

(b) Berechne λ_{1}(C_{α}).

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei a > 0. Für welche s ∈ ℝ ist die Funktion ℝ_{+} ∋ x ↦ x^{s}e^{−ax} Lebesgueintegrierbar? Berechne: ∫_{0}^{∞} x^{s}e^{−ax} dx = Γ(s+1)a^{−s−1}.

(b) Benutze die Entwicklung \frac{1}{e^{x}−1} = ∑_{k=1}^{∞} e^{−kx} und den Satz von Beppo Levi um zu zeigen, daß für s > 1 gilt:

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} \frac{x^{s−1}}{e^{x} − 1} dλ_{1} .

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, daß die Funktionen f, g : ℝ ⟶ ℝ,

f(x) = ( ∫_{0}^{x} e^{−t^{2}} dt)^{2} , g(x) = ∫_{0}^{1} \frac{e^{−x^{2}(1+t^{2})}}{1 + t^{2}} dt ,

differenzierbar sind mit f′ + g′ = 0 und f + g = \frac{π}{4} .

(b) Folgere für a > 0 und n ∈ ℤ_{+}:

∫_{ℝ} e^{−t^{2}} dλ_{1} = \sqrt{π} , ∫_{ℝ} e^{−at^{2}} dλ_{1} = \sqrt{\frac{π}{a}} , ∫_{ℝ} e^{−at^{2}}t^{2n} dλ_{1} = \sqrt{π} \frac{(2n)!}{2^{2n}n!} a^{−n− \frac{1}{2}} .

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 3 Punkte)

(i) Beweise, daß (1 − t/k)^{k} ⩽ e^{−t} für 0 ⩽ t ⩽ k, und benutze diese Ungleichung und den Satz von Lebesgue um zu zeigen, daß

Γ(x) = lim_{k→∞} ∫_{0}^{k}(1 − \frac{t}{k})^{k} t^{x−1} dt .

(ii) Bestimme durch sukzessive partielle Integrationen die Gaußsche Darstellung der Gammafunktion:

Γ(x) = lim_{k→∞} \frac{k^{x}k!}{x(x + 1) … (x + k)} .

(iii) Berechne Γ(\frac{1}{2}) unter Verwendung der Aufgabe 3(b), und einer Substitution. Leite mit Hilfe von (ii) für x = 1/2 die Wallissche Produktformel her:

lim_{k→∞} \frac{2^{2}}{1 · 3} \frac{4^{2}}{3 · 5} ⋯ \frac{(2k)^{2}}{(2k − 1)(2k + 1)} = \frac{π}{2} .

(Für die übliche Herleitung siehe Skript S. 77 oder Königsberger, Analysis I, §11.5.)

Hinweis zur Klausur: Um zur Klausur zugelassen zu werden, müssen mindestens 60 Punkte aus den Übungsblättern 1–10 erreicht werden.