WS 08/09 Marinescu / Erat

11. Blatt zur Vorlesung Analysis III Besprechung in den Übungen und Hausaugabenbetreuung

Übungsaufgabe

(a) Zeige, daß das Integral

∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x^{α}} dx

für α ⩽ 0 und α ⩾ 2 weder als uneigentliches Regelintegral noch als Lebesgue– Integral, für 0 < α ⩽ 1 als uneigentliches Regelintegral aber nicht als Lebesgue– Integral, für 1 < α < 2 als Lebesgue–Integral und absolut konvergentes uneigentliches Regelintegral existiert.

(b) Zeige, daß x^{−1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{∞} e^{−xu^{2}} du. Benutze diese Gleichung zur Bestimmung des Integrals

F (t) := ∫_{0}^{∞} e^{−tx} \frac{cos x}{x^{1/2}} dx , (t > 0)

und folgere durch Grenzübergang t → +0:

R − ∫_{0}^{∞} \frac{cos x}{x^{1/2}} dx = \sqrt{\frac{π}{2}} . (Fresnel–Integral)

Übungsaufgabe

(a) Zeige, daß für jedes A > 0 die Funktion f : (0, A) × (0, ∞) ⟶ ℝ, f(x, y) = e^{−xy} sin x integrierbar ist. Folgere, daß

∫_{0}^{A} \frac{sin x}{x} dx = ∫_{0}^{∞} ( ∫_{0}^{A} e^{−xy} sin x dx) dy .

(b) Bestimme durch Grenzübergang A ⟶ ∞ das uneigentliche Regelintegral als

R − ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx = \frac{π}{2} ,

und leite her, daß

∫_{0}^{∞} \frac{1 − cos x}{x^{2}} dx = \frac{π}{2} , ∫_{0}^{∞} (\frac{sin x}{x})^{2} dx = \frac{π}{2} .

(Die letzten beiden Integrale sind Lebesgue–Integrale. Das letzte wird im Beweis des Satzes von Wiener–Ikehara benötigt, der die Basis für den Wienerschen Beweis des Primzahlsatzes ist.)

(bitte wenden)

Übungsaufgabe Sei a > 0 und S_{a} := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ⩾ 0, y ⩾ 0, x^{2} + y^{2} ⩽ a^{2}}. Seien f, g : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch f(x, y) = x^{2}𝟙_{S_{a}}(x, y) und g(x, y) = y^{2}𝟙_{S_{a}}(x, y). Sei h : ℝ^{2} → ℝ^{2}, h(x, y) = (y, x).

(a) Zeige, daß f und g Lebesgue-integrierbar auf ℝ^{2} sind.

(b) Zeige f ∘ h = g. Folgere damit, ohne die Integrale zu berechnen

∫_{ℝ^{2}} f dλ_{2} = ∫_{ℝ^{2}} g dλ_{2} .

(c) Berechne ∫_{ℝ^{2}}(f + g) dλ_{2} und damit ∫_{ℝ^{2}} f dλ_{2}.

Übungsaufgabe

(a) Zeige, daß das Katenoid M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = cosh^{2}(z)} eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3} ist.

(b) Zeige, daß die Abbildung ψ : ℝ^{2} → M, ψ(v, u) = (cosh u cos v, cosh u sin v, u) ein lokaler Diffeomorphismus ist. Finde eine möglichst große offene Menge U ⊂ ℝ^{2}, so daß ψ|_{U} : U → M eine Parametrisierung ist.

(c) Zeige, daß D := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} ⩽ cosh^{2}(z)} eine glatt berandete Teilmenge von ℝ^{3} ist, und lege auf M = ∂D die Randorientierung fest. Zeige, daß ψ orientierungserhaltend ist.

(d) Berechne die globale Darstellung der Volumenform ω_{K} des Katenoids und die lokale Darstellung bezüglich der Karte ψ^{−1} : ψ(U) → U.

(e) Berechne ψ^{∗}(fω_{K}), wobei f : M → ℝ, f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} .

(f) Berechne ∫_{M} \frac{1}{x^{2} + y^{2}} ω_{K} .

Übungsaufgabe Sei λ ∈ ℝ und das Vektorfeld V_{λ} : ℝ^{3} → ℝ^{3} gegeben durch

V_{λ}(x, y, z) = (\frac{λxz}{1 + x^{2}} + y , x , log(1 + x^{2}) − λz) .

(a) Untersuche, für welche λ ∈ ℝ die 1-Form ω^{V_{λ}} ∈ Ω^{1}(ℝ^{3}) ein Potential besitzt, und bestimme für diese λ ein Potential von ω^{V_{λ}}.

(b) Berechne für die λ, für welche ω^{V_{λ}} ein Potential besitzt, das Kurvenintegral ∫_{γ} ω^{V_{λ}} entlang der Kurve γ : [0; 1] → ℝ^{3}, t ↦ (cos(8πt), (t − 1)^{2} − t − 1, 5).