WS 11/12 Marinescu / Erat

1. Blatt zur Analysis I Abgabe: 24.–26.10.11 in den Übungen

                   http://www.mi.uni-koeln.de:8915

1. Aufgabe (3 Punkte) Zeige mit Hilfe der Körperaxiome und den daraus gezogenen Folgerungen in der Vorlesung, dass für a, b, c, d ∈ ℝ mit b ≠ 0, d ≠ 0 gilt:

(i) \frac{a}{b} = \frac{c}{d} genau dann, wenn ad = bc;

(ii) \frac{ad}{bd} = \frac{a}{b} ;

(iii) \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} .

2. Aufgabe (4 Punkte) Benutze nur die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome, die in der Vorlesung daraus gezogenen Folgerungen und Aufgabe 1, um zu zeigen:

(i) Aus x > 0 folgt x^{−1} > 0, und aus x < 0 folgt x^{−1} < 0 ;

(ii) für a, b, c, d > 0 mit \frac{a}{b} < \frac{c}{d} gilt \frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d} .

3. Aufgabe (5 Punkte)

(a) Zeige, dass für alle x, y ∈ ℝ gilt

\frac{|x + y|}{1 + |x + y|} ≤ \frac{|x|}{1 + |x|} + \frac{|y|}{1 + |y|} .

(b) Für welche x ∈ ℝ gilt |x^{2} − 9| + |x^{2} − 16| < 47 ?

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(a) Zeige, dass \sqrt{2} + \sqrt{3} irrational ist.

(b) Sei a ∈ ℚ_{+} mit \sqrt{a} ∉ ℚ. Zeige, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für alle p/q ∈ ℚ gilt

|\frac{p}{q} − \sqrt{a}| ≥ \frac{c}{q^{2}} .

(bitte wenden)

Hinweis für Erstsemester: Allgemeine Prüfungsanmeldung

Bevor Sie sich zur ersten Prüfungsleistung anmelden können, müssen Sie erst die allgemeine Anmeldung zur Bachelorprüfung vornehmen. Entsprechende Formulare finden Sie unter

http://www.mi.uni-koeln.de/home-institut/Alle/Lehre-Studium/Pruefungsanmeldung.de.html

Dem ausgefüllten Zulassungsgesuch und der vorbereiteten Zulassung (hier ist nur der Kopf des Dokumentes auszufüllen) sind ein Lebenslauf, das Abiturzeugnis (Kopie) und der Studentenausweis (Kopie) beizufügen. Erstsemester haben die Möglichkeit, alle Unterlagen in der zweiten Vorlesungswoche am 17.10.2011 nach der Analysis I Vorlesung (d.h. um 9:30 Uhr) im Hörsaal B (Hörsaalgebäude) abzugeben.