WS 11/12 Marinescu / Erat

3. Blatt zur Analysis I Abgabe: 07.11.–09.11.11 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige: Sind k, n ∈ ℕ, so ist \sqrt[k]{n} ganzzahlig oder irrational. (Tipp: Sei \sqrt[k]{n} = \frac{p}{q} mit p, q ∈ ℕ teilferfremd. Folgere q = 1 mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.)

(b) Seien x, y ∈ ℝ mit x < y. Beweise, dass es z ∈ ℝ \ ℚ mit x < z < y gibt. Mit anderen Worten: ℝ \ ℚ liegt dicht in ℝ.

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Wegen der Bernoulli–Ungleichung gilt (1 + \frac{1}{n})^{n} ⩾ 2 für alle n ∈ ℕ.

Zeige, dass außerdem gilt: (1 + \frac{1}{n})^{n} < 3 für alle n ∈ ℕ.

(Tipp: Binomischer Lehrsatz, endliche geometrische Reihe und Zusatzaufgabe Blatt 2.)

(b) Zeige für alle n ∈ ℕ mit n ⩾ 2: ∏_{k=1}^{n−1} (1 + \frac{1}{k})^{k} = \frac{n^{n}}{n!} .

(c) Folgere aus (a) und (b): 3 (\frac{n}{3})^{n} ⩽ n! ⩽ 2 (\frac{n}{2})^{n} für alle n ∈ ℕ.

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige: Für a > 1 ist a > \sqrt{a} > \sqrt[3]{a} > … > 1, und für 0 < a < 1 ist a < \sqrt{a} < \sqrt[3]{a} < … < 1.

(b) Sei x > 0. Für n ∈ ℕ_{0} sei x^{−n} := (x^{−1})^{n}, und für k ∈ ℤ, m ∈ ℕ sei x^{\frac{k}{m}} := \sqrt[m]{x^{k}} definiert. Damit ist also x^{q} für jedes q ∈ ℚ erklärt. (warum eindeutig?) Zeige für x > 0 und q, r ∈ ℚ: x^{q}x^{r} = x^{q+r} und (x^{q})^{r} = x^{qr}.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 6 Punkte) Für positive Zahlen a, b definiert man das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel durch

A(a, b) := \frac{a + b}{2} , G(a, b) := \sqrt{ab} , H(a, b) := \frac{1}{A(\frac{1}{a}, \frac{1}{b})} = \frac{2ab}{a + b} .

(i) Beweise die Ungleichungen

H(a, b) ⩽ G(a, b) ⩽ A(a, b)

und zeige, dass eine Gleichheit der Mittel nur für a = b eintritt. (ii) Das arithmetisch–geometrische Mittel. Es sei 0 < a < b. Man definiere Intervalle [a_{n}, b_{n}] für alle n ∈ ℕ rekursiv durch [a_{1}, b_{1}] := [a, b] sowie durch

a_{n+1} := G(a_{n}, b_{n}) und b_{n+1} := A(a_{n}, b_{n}) .

Man zeige, dass sie eine Intervallschachtelung bilden. Man zeige ferner die Abschätzung

b_{n+1} − a_{n+1} ⩽ \frac{1}{8a}(b_{n} − a_{n})^{2} .

Die in allen Intervallen [a_{n}, b_{n}] liegende Zahl heißt arithmetisch–geometrisches Mittel der Zahlen a und b und wird mit M(a, b) bezeichnet.