WS 11/12 Marinescu / Erat

4. Blatt zur Analysis I Abgabe: 14.11.–16.11.11 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Seien a_{1}, …, a_{n} > 0. Zeige:

( ∑_{k=1}^{n} a_{k})( ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}} ) ≥ n^{2} und Gleichheit genau dann, wenn a_{1} = … = a_{n}.

(b) Sei a ∈ ℝ_{+} \ {1}, n ∈ ℕ, n ≥ 2. Zeige

\sqrt[n]{a} < 1 + \frac{a − 1}{n}  und  \sqrt[n]{a^{p}} < 1 + \frac{p}{n}(a − 1) für p ∈ ℕ , 1 ≤ p < n .

2. Aufgabe (4 Punkte) Zeige:

(i) lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 ,

(ii) lim_{n→∞} \frac{n^{k}}{n!} = 0 , k ∈ ℕ fest ,

(iii) lim_{n→∞} \frac{a^{n}}{n!} = 0 , a ⩾ 0 fest ,

(iv) lim_{n→∞} \sqrt{n}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) = \frac{1}{2} .

3. Aufgabe (4 Punkte)

Sei x_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + … + \frac{1}{n!} , n ∈ ℕ. Zeige:

(i) x_{n} ≥ (1 + \frac{1}{n})^{n} und lim x_{n} ≥ e. (Benutze Zusatzaufgabe Blatt 2.)

(ii) Für m ∈ ℕ mit 2 ≤ m < n gilt

\begin{aligned}(1 + \frac{1}{n})^{n} & > 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}(1 − \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1 − \frac{1}{n})(1 − \frac{2}{n}) + … \\ & + \frac{1}{m!}(1 − \frac{1}{n}) ⋯ (1 − \frac{m−1}{n}) . \end{aligned}

(iii) Folgere e ≥ x_{m} für alle m ∈ ℕ und schließe lim x_{n} = e.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

Sei x_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + … + \frac{1}{n!} .

(a) Zeige (ähnlich wie in der Vorlesung bei der Abschätzung von x_{n} nach oben),

dass für m > n gilt 0 < x_{m} − x_{n} < \frac{1}{n! n} .

(b) Folgere 0 < e − x_{n} ≤ \frac{1}{n! n} .

(c) Berechne e bis auf 10^{−3} genau.

(d) Zeige, dass e irrational ist. (Benutze (b) für einen Widerspruchsbeweis.)