WS 11/12 Marinescu / Erat

5. Blatt zur Analysis I Abgabe: 21.11.–23.11.11 in den Übungen

1. Aufgabe (5 Punkte)

(a) Bestimme Betrag, Real- und Imaginärteil von

(i) \frac{3 + 4i}{2 − i}  ,  (ii) (1 + i)^{8} ,  (iii) (\frac{1 + i}{1 − i})^{n} , n ∈ ℤ .

(b) Seien z, w ∈ ℂ. Dann gilt

(i) |z + w|^{2} + |z − w|^{2} = 2(|z|^{2} + |w|^{2}) ; (ii) z, w ≠ 0: |z + w| = |z| + |w| ⟺ z/w > 0 .

2. Aufgabe (4 Punkte) Beschreibe und skizziere folgende Mengen:

(i) M_{1} = {z ∈ ℂ | |z − i| = |z − 1|};

(ii) M_{2} = {z ∈ ℂ | |z + i| + |z − i| = 4};

(iii) M_{3} = \{z ∈ ℂ | Im \frac{z + i}{z + 1} = 0\};

(iv) M_{4} = \{\frac{i − t}{t − 1} ∈ ℂ | t ∈ ℝ \ \{1\}\}.

3. Aufgabe (3 Punkte)

(a) Für n ∈ ℕ zeige z^{n} − 1 = (z − 1)(z^{n−1} + z^{n−2} + … + z + 1) .

(b) Sei g := \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) (die Zahl des goldenen Schnittes) und h := g^{−1}. Sei ζ := \frac{1}{2}(h + i\sqrt{4 − h^{2}}). Zeige, dass ζ eine Lösung der Gleichung z^{5} − 1 = 0 (also eine 5. Einheitswurzel) ist. Wie sehen weitere Lösungen aus? Tipp: Zeige g = 1 + h und z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = (z^{2} + gz + 1)(z^{2} − hz + 1) .

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(i) Sei S : ℂ \ \{−1\} ⟶ ℂ \ \{1\}, S(z) = \frac{z + i}{z + 1}. Zeige, dass S bijektiv ist, und

bestimme S^{−1}. Vergleiche mit Aufgabe 2 (iii)–(iv).

(ii) Sei a ≠ 1 und T : ℂ \ \{1\} ⟶ ℂ \ \{1\}, T (z) = \frac{z − a}{z − 1}. Bestimme T^{−1}, T ∘ T

und M = {z ∈ ℂ | Im T (z) = 0}.