WS 11/12 Marinescu / Erat

6. Blatt zur Analysis I Abgabe: 28.11.–30.11.11 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei k ∈ ℕ und seien a > 0 und x_{1} > 0 reelle Zahlen. Die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} werde rekursiv definiert durch

x_{n+1} = \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) , n ∈ ℕ .

Zeige, dass die Folge konvergent ist, und berechne ihren Grenzwert.

2. Aufgabe (2 Punkte) Berechne die Häufungswerte der Folgen (a_{n})_{n∈ℕ}, (b_{n})_{n∈ℕ} definiert durch

a_{n} = \frac{n}{n + 1} sin (\frac{nπ}{2} ) , b_{n} = (1 + \frac{cos(nπ)}{n})^{n} .

3. Aufgabe (6 Punkte) Berechne

(a) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{3^{k}} , (b) ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{4^{k−1}} , (c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{4}{5^{k}} , (d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{2} + 2k + 5}{k!} .

Zeige

(e) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{4k^{2} − 1} = \frac{1}{2}  ,  (f) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} = \frac{1}{4} .

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(a) Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige Folge und (b_{n})_{n∈ℕ} eine monoton steigende Folge mit

lim_{n→∞} b_{n} = ∞. Zeige: Existiert lim_{n→∞} \frac{a_{n+1} − a_{n}}{b_{n+1} − b_{n}} in \overline{ℝ}, dann existiert lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} in

\overline{ℝ} und lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n→∞} \frac{a_{n+1} − a_{n}}{b_{n+1} − b_{n}} .

(b) Studiere mit Hilfe von (a) die Konvergenz der Folgen:

(i) (\frac{a^{n}}{n} )_{n∈ℕ}, a ⩾ 0 fest;

(ii) (\frac{1^{p} + 2^{p} + … + n^{p}}{n^{p+1}} )_{n∈ℕ}, p ∈ ℕ fest;

(iii) (\frac{x_{1} + x_{2} + … + x_{n}}{n} )_{n∈ℕ}, wobei (x_{n})_{n∈ℕ} einen Grenzwert in \overline{ℝ} besitzt.