WS 11/12 Marinescu / Erat

7. Blatt zur Analysis I Abgabe: 05.–07.12.11 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Untersuche ∑_{n⩾1} a_{n} auf Konvergenz und absolute Konvergenz, wobei a_{n} definiert sei

als:

(a) \frac{1}{n^{2}} + \frac{(−1)^{n}}{n} , (b) \frac{4n^{2} + 2n − 3}{3n^{4} − n^{3} + 7} , (c) \frac{n^{n}}{4^{n} · n!} , (d) \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{n} .

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei x ∈ ℝ, x ⩾ 0. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Folge (a_{n})_{n⩾0} gibt mit:

(i) a_{0} ∈ ℕ_{0}, a_{n} ∈ {0, 1, 2, …, 9} für n ∈ ℕ;

(ii) für alle n ∈ ℕ gilt 0 ⩽ x − ∑_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{10^{k}} < \frac{1}{10^{n}} .

Tipp: Wähle induktiv a_{0} = ⌊x⌋, a_{1} = ⌊10(x − a_{0})⌋, a_{2} = ⌊10^{2}(x − a_{0} − \frac{a_{1}}{10})⌋, …, a_{n} = ⌊10^{n}(x − a_{0} − \frac{a_{1}}{10} − … \frac{a_{n−1}}{10^{n−1}} )⌋, …

Zeige, dass x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{a_{k}}{10^{k}}. Man schreibt dann x = a_{0}, a_{1}a_{2}a_{3} . . ..

Diese Darstellung heißt die Dezimalbruchentwicklung von x.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei z ∈ ℂ. Zeige:

(i) Für jedes ε > 0 gibt es N ∈ ℕ, so dass ∑_{k=N+1}^{∞} \frac{|z|^{k}}{k!} < \frac{ε}{3} .

Zudem gilt | ∑_{k=N+1}^{n}\binom{n}{k}\frac{z^{k}}{n^{k}} | < \frac{ε}{3} für jedes n > N.

(ii) Für jedes N ∈ ℕ gilt ∑_{k=0}^{N}(\frac{z^{k}}{k!} − \binom{n}{k}\frac{z^{k}}{n^{k}} ) ⟶ 0 für n → ∞.

Folgere: (1 + \frac{z}{n})^{n} ⟶ exp(z) für n → ∞.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Eine Menge Ω ⊂ ℂ heißt offen, wenn es für jedes z ∈ Ω ein ε > 0 mit B_{ε}(z) ⊂ Ω gibt. Eine Menge A ⊂ ℂ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement ∁A := ℂ \ A offen ist. Zeige:

(a) Die Vereinigung ⋃_{λ∈Λ} Ω_{λ} einer beliebigen Familie offener Mengen Ω_{λ} ⊂ ℂ ist offen, und der Durchschnitt einer endlichen Familie offener Mengen ist offen. Was gilt für abgeschlossene Mengen?

(b) Eine Menge A ⊂ ℂ ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge, deren Glieder sämtlich in A liegen, auch deren Grenzwert in A liegt.