WS 11/12 Marinescu / Erat

8. Blatt zur Analysis I Abgabe: 12.–14.12.11 in den Übungen

1. Aufgabe (2 Punkte) Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:

\begin{matrix}(i) & \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + … + \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{3^{n}} + … \\ (ii) & 1 + a + ab + a^{2}b + a^{2}b^{2} + a^{3}b^{2} + … + a^{n}b^{n} + a^{n+1}b^{n} + … \end{matrix}

2. Aufgabe (6 Punkte) Zu jedem α ∈ ℂ sei eine Folge (α_{n}) definiert durch

α_{0} = 1 und α_{n} = α(α + 1) · . . . · (α + n − 1) für n ∈ ℕ .

Seien a, b, c ∈ ℂ\{0, −1, −2, …}. Die hypergeometrische Reihe zu a, b, c ist definiert

durch F_{a,b,c}(z) := ∑_{k⩾0} \frac{a_{k}b_{k}}{k! c_{k}} z^{k} = 1 + \frac{ab}{c}z + \frac{a(a + 1) b(b + 1)}{2! c(c + 1)}z^{2} + …

(a) Berechne den Konvergenzradius von F_{a,b,c}.

(b) Drücke die folgenden Potenzreihen in der Form F_{a,b,c}(±z) oder z · F_{a,b,c}(±z)

aus: (i) ∑_{k⩾0} z^{k} , (ii) B_{s}(z) = ∑_{k⩾0} \binom{s}{k}z^{k} mit s ∈ ℂ \ ℕ_{0} ,

(iii) L(z) = ∑_{k⩾0} \frac{(−1)^{k}}{k + 1} z^{k+1} .

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige | exp(u) − 1 − u| ≤ |u|^{2} für alle u ∈ ℂ mit |u| < 1 und folgere: | exp(w) − exp(z) − (w − z) exp(z)| ≤ |w − z|^{2} · | exp(z)| für alle z, w ∈ ℂ mit |w − z| < 1.

(b) Beweise mit Hilfe von (a), dass exp : ℂ → ℂ stetig ist.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 6 Punkte)

(i) Sei a > 0. Zeige, dass es eine einzige Funktion φ : ℚ → ℝ gibt mit φ(1) = a und φ(r + s) = φ(r) · φ(s) für alle r, s ∈ ℚ.

(ii) Für z ∈ ℂ mit |z| < 1 und α ∈ ℝ definiere

B_{α}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} .

Zeige mit Hilfe des Cauchy–Produkts, dass B_{α+β}(z) = B_{α}(z)B_{β}(z) für alle α, β ∈ ℝ. Hinweis: Zeige zunächst, dass für α, β ∈ ℝ

∑_{k=0}^{n} \binom{α}{k}\binom{β}{n − k} = \binom{α + β}{n} .

(iii) Leite für α ∈ ℚ und x ∈ ℝ, |x| < 1, her:

(1 + x)^{α} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}x^{n} .