WS 11/12 Marinescu / Erat

9. Blatt zur Analysis I Abgabe: 19.–21.12.11 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Zeige für alle z, w ∈ ℂ:

(a) cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w, sin(z + w) = cos z sin w + sin z cos w. (Tipp: cos u + i sin u = exp(iu); betrachte u = z + w und u = −(z + w).)

(b) cos^{2}z + sin^{2}z = 1, cos 2z = 2 cos^{2}z − 1, cos^{2}(\frac{z}{2}) = \frac{1+cos z}{2} , sin^{2}(\frac{z}{2}) = \frac{1−cos z}{2} .

(c) cos z + cos w = 2 cos \frac{z+w}{2} cos \frac{z−w}{2} , sin z + sin w = 2 sin \frac{z+w}{2} cos \frac{z−w}{2} .

2. Aufgabe (4 Punkte) Finde die Stetigkeits- und Unstetigskeitsstellen folgender Funktionen:

(i) f : ℝ → ℝ , f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & , x ∈ ℚ \\ 0 & , x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix}

(ii) g : ℝ → ℝ , g(x) = \begin{cases}\frac{cos x − 1}{x} & , x ≠ 0 \\ 0 & , x = 0 \end{cases}

(iii) φ : ℝ → ℝ , φ(x) = ⌊x + \frac{1}{2}⌋

(iv) ψ : ℝ → ℝ , ψ(x) = |φ(x) − x|

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit a_{n} > 0 und a_{0} < 0. Zeige: Das Polynom p(x) := a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{1}x + a_{0} besitzt eine positive Nullstelle.

(b) Zeige, dass die Gleichung x^{2} + 2 = exp(x) eine positive Lösung besitzt.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 6 Punkte) Sei x ∈ (−1, 1) fest.

(i) Sei m > 0 und α ∈ [−m, m]. Zeige, dass |\binom{α}{k}| ≤ \binom{m+k−1}{k} und die Reihe ∑_{k≥0} \binom{m+k−1}{k}|x|^{k} konvergent ist.

(ii) Zeige, dass die Funktionenreihe ∑_{k≥0} f_{k}, f_{k} : [−m, m] → ℝ, f_{k}(α) = \binom{α}{k}x^{k}, normal konvergent ist. Leite her, dass die Funktion [−m, m] ∋ α ↦ B_{α}(x) stetig ist.

(iii) Beweise die Binomialentwicklung von Newton:

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{α}{k}x^{k} , α ∈ ℝ , x ∈ (−1, 1) .

Hinweis der Fachschaft Mathematik: Eure Fachschaft feiert am Freitag den 16.12.2011 ihre diesjährige Nikolausparty im S2 im Mathematischen Institut. Los geht’s um 20:30 Uhr mit leckerem Glühwein und kühlem Kölsch! Wir freuen uns auf euch!