WS 11/12 Marinescu / Erat

10. Blatt zur Analysis I Abgabe: 09.–11.01.2012 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Für x > 0 und z ∈ ℂ definieren wir x^{z} := exp(z · log x). Als Komposition stetiger Funktionen sind sowohl ℝ_{+} ∋ x ↦ x^{z} ∈ ℂ (für festes z ∈ ℂ) als auch ℂ ∋ z ↦ x^{z} ∈ ℂ (für festes x > 0) stetig. Zeige:

(a) Für alle x > 0, q ∈ ℚ stimmt die obige Definition von x^{q} mit der Definition aus der Vorlesung (Skript Definition 1.5.8) überein.

(b) Für alle x, y > 0, z, w ∈ ℂ und a ∈ ℝ gilt: (xy)^{z} = x^{z}y^{z}, x^{z+w} = x^{z}x^{w}, (x^{a})^{z} = x^{az}; für x > 1 und a < b gilt x^{a} < x^{b}; für a > 0 und x < y gilt x^{a} < y^{a}.

2. Aufgabe (3 Punkte) Berechne die folgenden Grenzwerte:

(i) lim_{x→0} log x , lim_{x→∞} log x , lim_{x→0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} , lim_{y→∞}(1 + \frac{1}{y})^{y} .

(ii) Sei a > 0.

lim_{x→∞} a^{x} , lim_{x→−∞} a^{x} , lim_{x→0} x^{a} ,

lim_{x→∞} x^{a} , lim_{x→0} x^{a} log x , lim_{x→0} \frac{log x}{x^{a}} .

(iii) lim_{z→∞} P (z) , wobei P : ℂ ⟶ ℂ, P (z) = a_{n}z^{n} + … + a_{0} , a_{n} ≠ 0 .

3. Aufgabe (5 Punkte) Berechne jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen:

f_{1} : ℝ \ \{\frac{−d}{c}\} ∋ x ↦ \frac{ax + b}{cx + d} ∈ ℂ mit a, b, c, d ∈ ℂ , c ≠ 0 ;
f_{2} : ℝ_{+} ∋ x ↦ x log x ∈ ℝ ;
f_{3} : ℝ_{+} ∋ x ↦ x^{x} ∈ ℝ ;
f_{4} : ℝ ∋ x ↦ log \sqrt{1 + sin^{2} x} ∈ ℝ ;
f_{5} := tanh = \frac{sinh}{cosh} : ℝ → ℝ , wobei

cosh x = \frac{e^{x} + e^{−x}}{2} , sinh x = \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} .

Tipp: cosh^{2}(x) − sinh^{2}(x) = 1.

(bitte wenden)

Zusatzaufgabe (+ 6 Punkte) Sei z_{0} ∈ D ⊂ ℂ. Eine Teilmenge U ⊂ D heißt Umgebung von z_{0} in D, wenn es ε > 0 gibt mit B_{ε}(z_{0}) ∩ D ⊂ U. Zeige:

(i) Ist U eine Umgebung von z_{0} in D und U ⊂ V, so ist auch V eine Umgebung von z_{0} in D.

(ii) Sind U, V zwei Umgebungen von z_{0} in D, so ist es auch U ∩ V.

(iii) f : D → ℂ ist stetig in z_{0} ⟺ zu jeder Umgebung V von f(z_{0}) gibt es eine Umgebung U von z_{0} mit f(U) ⊂ V.