WS 11/12 Marinescu / Erat

11. Blatt zur Analysis I Abgabe: 16.–18.01.2012 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Sei z ∈ ℂ, und sei f : ℝ → ℂ definiert durch f(x) := 0 für x ≤ 0 und f(x) := x^{z} für x > 0. Zeige: f ist genau dann im Punkt 0 differenzierbar, wenn Re z > 1 gilt.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei a ∈ ℝ. Wieviele Nullstellen hat die Funktion f : x ↦ x^{3} − 3x^{2} + a in (−1, 1) ?

3. Aufgabe (4 Punkte) Zeige für x ∈ ℝ_{+}:

x − \frac{x^{2}}{2} < log(1 + x) < x .

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ, und sei \overline{D} die Vereinigung von D und der Menge aller Häufungspunkte von D. Beweise, dass \overline{D} die kleinste abgeschlossene Menge ist, die D umfasst. (Zu zeigen ist: \overline{D} ist abgeschlossen, und jede abgeschlossene Menge A ⊂ ℂ, die D umfasst, umfasst auch \overline{D}.)

Klausurtermine:

Samstag 04.02.2012, 8.45 – 12.15 Uhr, in Chemie I-III und Physik I-III Montag 05.03.2012, 10.00 – 13.30 Uhr, in Hörsaalgebäude A1, B, C

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