WS 11/12 Marinescu / Erat

12. Blatt zur Analysis I Abgabe: 23.–25.01.2012 in den Übungen

Hinweis: Für die Klausurzulassung müssen mindestens 72 Punkte aus den Übungsblättern 1–12 erreicht werden.

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, dass die Funktion cos : [0, π] → [−1, 1] bijektiv ist.

(b) arccos : [−1, 1] → [0, π] bezeichne die inverse Funktion von cos. Zeige, dass arccos : (−1, 1) → (0, π) differenzierbar ist, und berechne die Ableitung.

(c) Zeige, dass arccos \frac{1 − x^{2}}{1 + x^{2}} = 2 arctan x für alle x ∈ [0, ∞) .

2. Aufgabe (4 Punkte) Die Funktion f sei definiert durch

f : [ − \frac{1}{2} , ∞) ⟶ ℝ , f(x) = \frac{3}{2}x^{2} − 4x − \frac{4}{x + 1} .

Bestimme alle lokalen und globalen Extrema von f.

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei arcsin : [−1, 1] → ℝ die Umkehrfunktion zu sin |_{[− \frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]}. Finde eine Stammfunktion zu arcsin. (Tipp: arcsin x = (x)′ · arcsin x) Verifiziere: ∫ 1_{\frac{1}{2}} arcsin x dx = \frac{5π}{12} − \frac{\sqrt{3}}{2} .

(b) Finde eine Stammfunktion zu log^{2} : ℝ_{+} → ℝ. (Tipp: zweimal Tipp zu (a)) Verifiziere: ∫_{1}^{2} log^{2}(x) dx = 2 log^{2}(\frac{e}{2}).

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Berechne mithilfe der Substitutionsregel die folgenden unbestimmten Integrale:

(a) ∫ \frac{1}{x log x} dx auf (0, 1) ,

(b) ∫ 9\sqrt{\frac{arsinh 6x}{1 + 36x^{2}}} dx, wobei arsinh x := sinh^{−1} x = log (x + \sqrt{x^{2} + 1}),

(c) ∫ \frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)} dx auf ℝ_{+} ,

(d) ∫ \frac{1}{a^{2}cos^{2}x + b^{2}sin^{2}x} dx mit a, b ∈ ℝ \ \{0\} (Tipp: y = tan x).